巴苏定理

在统计学中，巴苏定理（Basu's Theorem）指出任何有界完全的充分统计量与任何辅助统计量独立。这是Debabrata Basu于1955年发现的结论。[1]

定理陈述

设 $P_{\theta }$ 是可测空间 $(X,\Sigma )$ 上的一族分布。如果 $T$ 是 $\theta$ 的充分且有界完全的统计量， $A$ 是关于 $\theta$ 的辅助统计量，那么 $T$ 独立于 $A$ 。

证明

对任意博雷尔集 $B$ ，构造函数 $h_{B}(T)\equiv P_{\theta }(A\in B|T)-P_{\theta }(A\in B)$ 。注意到记号 $h_{B}$ 是合理的，因为这一函数不取决于 $\theta$ 。第一项不取决于 $\theta$ 是因为 $T$ 的充分性，第二项不取决于 $\theta$ 是因为 $A$ 是关于 $\theta$ 的辅助统计量。注意到 $h_{B}$ 有界并且期望为0。因此， $T$ 的有界完全性保证了 $h_{B}$ 几乎处处为0。由于 $B$ 可以是任意博雷尔集，定理得证。

例子

正态分布（方差已知）的样本期望值独立于样本方差

让 X₁, X₂,..., X_n 是独立同分布的正态分布随机变量，其中方差 $\sigma ^{2}$ 已知，均值 $\mu$ 未知。

关于参数 $\mu$ ，可以证明样本均值

{\widehat {\mu }}={\frac {\sum X_{i}}{n}},

是充分完全统计量，并且样本方差

{\widehat {\sigma }}^{2}={\frac {\sum \left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}}{n-1}},

是辅助统计量，即其分布并不依赖于 $\mu$ 。

因此，巴苏定理指出二者独立。

尽管上述证明是借助方差已知均值未知的正态分布模型完成的，这一结论并不只在该情况下成立。实际上，无论方差或均值已知与否，正态分布的样本均值和样本方差都是独立的。更进一步，正态分布是唯一具有这一性质的分布[2]。

参考文献

Basu, D. . Sankhyā. 1955, 15 (4): 377–380. JSTOR 25048259. MR 0074745. Zbl 0068.13401.
Geary, R.C. . Supplement to the Journal of the Royal Statistical Society. 1936, 3 (2): 178–184. JFM 63.1090.03. JSTOR 2983669. doi:10.2307/2983669.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Basu, D. . Sankhyā. 1955, 15 (4): 377–380. JSTOR 25048259. MR 0074745. Zbl 0068.13401.

[2] Geary, R.C. . Supplement to the Journal of the Royal Statistical Society. 1936, 3 (2): 178–184. JFM 63.1090.03. JSTOR 2983669. doi:10.2307/2983669.