布朗常数

B₂ （OEIS數列A065421）的形式如下：

${\displaystyle B_{2}=\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\right)+\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\left({\frac {1}{29}}+{\frac {1}{31}}\right)+\cdots }$

以上收斂的結論，稱為布朗定理。而所有素数的倒数之和则是发散的。假如以上的级数发散，则我们立刻就可以证明孪生素数猜想。但由于它收敛，我们就不知道是否有无穷多个孪生素数（若孪生素数之平方根的倒數和發散，則亦可知其為無限多）。类似地，如果证明了布朗常数是无理数，也立刻就可以证明孪生素数猜想。但如果它是有理数，则仍然无法知道孪生素数是不是无限的。

我们知道1.9 < B₂，但不知道是否能大于2。

這數列收斂極慢，Thomas Nicely指出，即使在最初的十億項彼此相加後，其相對誤差值依舊超過5%。[1]

Thomas R. Nicely把孪生素数算到10¹⁴，估计布朗常数大约为1.902160578[1]，Nicely在這過程中也發現了奔騰浮點除錯誤；之後Nicely在2010年1月18日將估計延展到大小約為1.6×10¹⁵的孿生質數上，但這還不是截至目前為止最大的計算。

目前最精确的估计是Pascal Sebah和Patrick Demichel在2002年发现的，他们把孪生素数算到了10¹⁶：[2]

B₂ ≈ 1.902160583104.

截至目前為止，對於布朗常數的估計如下：

最後一項是根據小於${\displaystyle 10^{16}}$的孿生質數和1.830484424658...的外推而來。Dominic Klyve在一篇未發表的論文證明說在廣義黎曼猜想成立的狀況下，B₂ < 2.1754；而在不假定任何條件的狀況下，B₂ < 2.347。[3]

除此以外，还有一个四胞胎素数的布朗常数，它是所有的四胞胎素数的倒数之和，记为B₄：

${\displaystyle B_{4}=\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\left({\frac {1}{101}}+{\frac {1}{103}}+{\frac {1}{107}}+{\frac {1}{109}}\right)+\cdots }$

它的值为

B₄ =0.87058 83800 ± 0.00000 00005。根據Nicely的說法，其誤差範圍的置信區間為99%。[1]

這常數不該跟也記做B₄、對於形如${\displaystyle (p,p+4)}$的質數對倒數和的表兄弟質數的布朗常數搞混，倭爾夫（Wolf）估計說形如${\displaystyle (p,p+n)}$的質數對的倒數和大約為${\displaystyle {\frac {4}{n}}}$。

設${\displaystyle C_{2}=0.6601\ldots }$（OEIS數列A005597）為孿生質數常數，則有猜想認為

${\displaystyle \pi _{2}(x)\sim 2C_{2}{\frac {x}{(\log x)^{2}}}.}$

特別地，對於任意充分大的${\displaystyle x0}$以及任意的${\displaystyle \varepsilon >0}$，有

${\displaystyle \pi _{2}(x)<(2C_{2}+\varepsilon ){\frac {x}{(\log x)^{2}}}}$

對於特殊情況，目前已有證明；在近期，Jie Wu正明說對於任意充分大的${\displaystyle x0}$而言，有

${\displaystyle \pi _{2}(x)<4.5\,{\frac {x}{(\log x)^{2}}}}$

其中4.5的部分相當於上述的${\displaystyle \varepsilon \approx 3.18}$。

Thomas Nicely在研究布朗常數時曾使用包括66 MHz Intel Pentium處理器的電腦對布朗常數進行計算，但用包括66 MHz Intel Pentium處理器的電腦處理長除法時一直出錯[4] 。他用一個數字去除以824,633,702,441時，答案一直是錯誤的，而這使得奔騰浮點除錯誤受到揭發，進而造成Intel的公關災難，並導致英特爾在1994年受到4.75億美元的損失。[5]

另外Google曾使用三個數學常數作為交易金額，而其中一個常數是布朗常數。Google曾在北電網路的專利交易中出價1,902,160,540美元，而1.9021605...是布朗常數的約略值。

• 孪生素数
• 孪生素数猜想
• 埃拉托斯特尼筛法
• 素数判定法则
• Meissel-Mertens常数
• 奔騰浮點除錯誤─Thomas Nicely在研究布朗常數時發現的技術錯誤。

• 布朗常数的计算
• 埃里克·韦斯坦因. . MathWorld.
• Brun's constant at PlanetMath.