布盧姆公理

布魯姆複雜度衡量是一個二元組${\displaystyle (\varphi ,\Phi )}$，其中${\displaystyle \varphi }$是偏可計算函數集${\displaystyle \mathbf {P} ^{(1)}}$的哥德爾編號，而${\displaystyle \Phi$ :\mathbb {N} \to \mathbf {P} ^{(1)}} 是一個可計算函數，滿足以下的布魯姆公理。用${\displaystyle \varphi _{i}}$表示哥德爾編號${\displaystyle \varphi }$下的第i個偏可計算函數，${\displaystyle \Phi _{i}}$表示偏可計算函數${\displaystyle \Phi (i)}$。

1. 函數${\displaystyle \varphi _{i}}$和${\displaystyle \Phi _{i}}$的定義域相同。
2. 集合${\displaystyle \{(i,x,t)\in \mathbb {N} ^{3}|\Phi _{i}(x)=t\}}$是遞歸的。

在定義中，${\displaystyle \Phi _{i}(x)}$應當理解成${\displaystyle i}$所編碼的計算過程，在輸入為${\displaystyle x}$時，所消耗的資源（例如時間、空間，或兩者的適當組合）。

• 若${\displaystyle \Phi }$測量時間，則${\displaystyle (\varphi ,\Phi )}$是複雜度衡量：需要的時間或計算量可計算，因為可以直接模擬。而第二條公理也成立，因為要判斷${\displaystyle \Phi _{i}(x)=t}$是否成立，只需運行至多${\displaystyle t}$步，所以總能在有限時間內判斷。
• 若${\displaystyle \Phi }$測量空間（記憶體），則${\displaystyle (\varphi ,\Phi )}$亦為複雜度衡量，但原因較時間複雜：當限制空間為${\displaystyle t}$時，整個系統的可能狀態只有有限多個（例如若圖靈機有${\displaystyle q}$個狀態，其紙帶有${\displaystyle s}$種符號，則紙帶共只有${\displaystyle s^{t}}$種可能性，最後乘上讀寫頭位置的${\displaystyle t}$種可能性，整個系統只有${\displaystyle qs^{t}t}$種可能性）。從而，只要模擬足夠長的時間，必有以下三者之一：
  • 計算結束；
  • 整個系統重複某個狀態，受困於無窮迴圈；
  • 超出空間限制${\displaystyle t}$。

所以，在有限時間內，可以判斷${\displaystyle \Phi _{i}(x)=t}$是否成立。

• 作為反例，${\displaystyle (\varphi ,\varphi )}$並非一個複雜度衡量，因為其不滿足第二條公理。

布盧姆的複雜度定義不取決於具體的計算模型，但也可以圖靈機的用語複述一次，幫助理解。

布魯姆複雜度衡量是將二元組（圖靈機${\displaystyle M}$，輸入${\displaystyle x}$）射去自然數或${\displaystyle \infty }$的映射${\displaystyle \Phi }$，其滿足以下公理（對應前述定義）：

1. ${\displaystyle \Phi (M,x)}$為${\displaystyle \infty }$當且僅當${\displaystyle M(x)}$不停機。
2. 有算法可以判斷，當輸入${\displaystyle (M,x,t)}$時，是否有${\displaystyle \Phi (M,x)=t}$。

例如，${\displaystyle \Phi (M,x)}$可以是${\displaystyle M}$輸入${\displaystyle x}$時運行至停機所需的步數。按定義可知第一條公理成立。而且，用通用圖靈機模擬${\displaystyle M}$輸入${\displaystyle x}$並運行${\displaystyle t}$步，就是滿足第二條公理條件的算法。

對於全可計算函數${\displaystyle f}$，可計算函數的複雜度類可定義成

${\displaystyle C(f):=\{\varphi _{i}\in \mathbf {P} ^{(1)}|\forall x.\ \Phi _{i}(x)\leq f(x)\},}$

${\displaystyle C^{0}(f):=\{h\in C(f)|\mathrm {codom} (h)\subseteq \{0,1\}\}.}$

${\displaystyle C(f)}$是所有複雜度小於${\displaystyle f}$的可計算函數構成的集合。${\displaystyle C^{0}(f)}$是複雜度比${\displaystyle f}$小的布爾函數集合。若我們視這些函數為集合的指示函數，則可視${\displaystyle C^{0}(f)}$為集合的複雜度類。