布雷特施奈德公式

設四邊形的面積為${\displaystyle A}$：

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\triangle ADB+\triangle BDC\\&={\frac {1}{2}}ad\sin \alpha +{\frac {1}{2}}bc\sin \gamma \end{aligned}}}$

可推得：

${\displaystyle 4A^{2}=(ad)^{2}\sin ^{2}\alpha +(bc)^{2}\sin ^{2}\gamma +2abcd\sin \alpha \sin \gamma }$

由餘弦定理：

${\displaystyle a^{2}+d^{2}-2ad\cos \alpha =b^{2}+c^{2}-2bc\cos \gamma }$

移項可得：

${\displaystyle {\frac {(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}}=(ad)^{2}\cos ^{2}\alpha +(bc)^{2}\cos ^{2}\gamma -2abcd\cos \alpha \cos \gamma }$

加入${\displaystyle 4A^{2}}$：

${\displaystyle 4A^{2}+{\frac {(b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2})^{2}}{4}}=(ad)^{2}+(bc)^{2}-2abcd\cdot \cos(\alpha +\gamma )}$

運用半角公式及因式分解可得：

${\displaystyle 16A^{2}=(a+b+c-d)(a+b+d-c)(a+c+d-b)(b+c+d-a)-16abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}$

代入半周長${\displaystyle s}$：

${\displaystyle 16A^{2}=16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-16abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}$

${\displaystyle \therefore A={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}}}$

只適用於圆内接四边形的婆罗摩笈多公式推廣了適用於三角形面積的海龍公式，而布雷特施奈德公式推廣了婆羅摩笈多公式。

布雷特施奈德公式中的三角函數修正項，可被重寫成與四邊形的二對角線長 ${\displaystyle p}$及${\displaystyle q}$有關的形式[1]。

${\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{4}}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}}}$

• 埃里克·韦斯坦因. . MathWorld.

1. J. L. Coolidge, "A historically interesting formula for the area of a quadrilateral", American Mathematical Monthly, 46 (1939) 345–347.