希尔伯特演绎系统

常见的希尔伯特风格的系统有六个无限公理模式和一个补充公理。为了简约公理模式的数目，这个系统假定所有公式都已经被重写为只使用连结词${\displaystyle \lnot }$和${\displaystyle \to }$并且只有量词${\displaystyle \forall }$。如下面所讨论的那样，可以把系统扩展为包括额外的逻辑连结词比如${\displaystyle \land }$和${\displaystyle \lor }$，而不扩大可演绎的公式类。

前三个逻辑公理模式（与肯定前件一起）允许操纵逻辑连结词。

1. ${\displaystyle \phi \to \left(\psi \to \phi \right)}$

2. ${\displaystyle \left(\phi \to (\psi \rightarrow \xi \right))\to \left(\left(\phi \to \psi \right)\to \left(\phi \to \xi \right)\right)}$

3. ${\displaystyle \left(\lnot \phi \to \lnot \psi \right)\to \left(\psi \to \phi \right)}$

后三个逻辑公理模式提供了增加、操纵和去除全称量词的方式。

4. ${\displaystyle \forall x\left(\phi \right)\to \phi [x:=t]}$这里的t可以代换在${\displaystyle \phi }$中x

5 ${\displaystyle \forall x\left(\phi \to \psi \right)\to \left(\forall x\left(\phi \right)\to \forall x\left(\psi \right)\right)}$

6 ${\displaystyle \phi \to \forall x\left(\phi \right)}$这里的x不是${\displaystyle \phi }$中的自由变量

需要最后的公理模式来处理涉及等号的公式。

1. ${\displaystyle x=x}$对于所有变量x
2. ${\displaystyle \left(x=y\right)\to \left(\phi [z:=x]\to \phi [z:=y]\right)}$