二項式係數

以下遞歸公式可計算二項式係數：

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n-1}{k-1}}+{\binom {n-1}{k}}\quad \forall n,k\in \mathbb {N} }$

其中特別指定：

${\displaystyle {\binom {n}{0}}=1\quad \forall n\in \mathbb {N} \cup \{0\},}$

${\displaystyle {\binom {0}{k}}=0\quad \forall k\in \mathbb {N} .}$

此公式可由計算${\displaystyle (1+x)^{n-1}(1+x)}$中的${\displaystyle x^{k}}$項，或點算集合${\displaystyle \left\{1,2,\cdots ,n\right\}}$的${\displaystyle k}$個元素組合中包含${\displaystyle n}$與不包含${\displaystyle n}$的數量得出。

顯然，如果${\displaystyle k>n}$，則${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}=0}$。而且對所有${\displaystyle n}$，${\displaystyle {\tbinom {n}{n}}=1}$，故此上述遞歸公式可於此等情況下中斷。遞歸公式可用作建構帕斯卡三角形。

個別二項式係數可用以下公式計算：

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {n(n-1)(n-2)\cdots [n-(k-1)]}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {n-(k-i)}{i}},}$

上式中第一個分數的分子是一階乘冪。此公式可以二項式係數在計算組合數量的意義理解：分子為從${\displaystyle n}$個元素中取出${\displaystyle k}$個元素的序列之數量，當中包含同樣的元素但不同排列次序的序列。分母則計算同樣的${\displaystyle k}$個元素可有多少種排序方式。

二項式係數最簡潔的表達式是階乘:

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}\quad {\mbox{for }}\ 0\leq k\leq n.}$

其中「${\displaystyle n!}$」是${\displaystyle n}$的階乘，此公式從上述乘數公式中分子分母各乘以${\displaystyle (n-k)!}$取得，所以此公式中的分子分母有眾同共同因子。除非先行抵銷兩邊中的共同因子，否則以此公式進行計算時較率欠佳，尤因階乘的數值增長特快。惟此公式展示了二項式係數的對稱特性：

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n}{n-k}}\quad {\mbox{for }}\ 0\leq k\leq n.}$

(1)

若將${\displaystyle n}$換成任意數值（負數、實數或複數）${\displaystyle \alpha }$，甚至是在任何能為正整數給出逆元素的交換環中的一元素，則二項式係數可籍乘數公式擴展[注 4]：

${\displaystyle {\binom {\alpha }{k}}={\frac {\alpha ^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}}\quad {\mbox{for }}k\in \mathbb {N} {\mbox{ and arbitrary }}\alpha .}$

此定義能使二項式公式一般化（其中一單項為1），故${\displaystyle {\tbinom {\alpha }{k}}}$仍能相稱地稱作二項式係數：

${\displaystyle (1+X)^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }{\alpha \choose k}X^{k}.}$

(2)

此公式對任何複數${\displaystyle \alpha }$及${\displaystyle X}$，${\displaystyle \left\vert X\right\vert <1}$時成立，故此亦可視作${\displaystyle X}$的冪級數的恆等式，即係數為常數1，任意冪之級數定義，且在此定義下，對於冪的恆等式成立，例如

${\displaystyle (1+X)^{\alpha }(1+X)^{\beta }=(1+X)^{\alpha +\beta }\quad {\mbox{and}}\quad ((1+X)^{\alpha })^{\beta }=(1+X)^{\alpha \beta }.}$

若${\displaystyle \alpha }$是一非負整數${\displaystyle n}$，則所有${\displaystyle k>n}$的項為零，此無窮級數變成有限項的和，還原為二項式公式，但對於${\displaystyle \alpha }$的其他值，包括負數和有理數，此級數為無窮級數。

在任何包含Q的域中，最多${\displaystyle d}$階的多項式有惟一的線性組合${\displaystyle \sum _{k=0}^{d}a_{k}{\binom {t}{k}}}$。係數${\displaystyle a_{k}}$是數列${\displaystyle p(0),p(1),\ldots ,p(k)}$的第k差分，亦即： [注 5]

${\displaystyle a_{k}=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{k-i}{\binom {k}{i}}p(i).}$

(3.5)

每一多項式${\displaystyle {\tbinom {t}{k}}}$在整數參數時均是整數值（可在${\displaystyle k}$上，用帕斯卡法則以歸納法証明）。故此，二項式係數多項式的整數線性組合亦為整數值。反之，(3.5)表達了任何整數值的多項式均是二項式係數多項式的整數線性組合。一般而言，對於一個特徵0域${\displaystyle k}$的任何子環${\displaystyle R}$，在${\displaystyle K[t]}$內的多項式在整數參數時之值均在${\displaystyle R}$內當且僅當該多項式是一二項式係數多項式的${\displaystyle R}$-線性組合。

整數值多項式${\displaystyle {\frac {3t(3t+1)}{2}}}$可表達作：

${\displaystyle 9{\tbinom {t}{2}}+6{\tbinom {t}{1}}+0{\tbinom {t}{0}}}$

从${\displaystyle t=1,2,3}$时${\displaystyle {\frac {3t(3t+1)}{2}}=6,21,45}$用帕斯卡矩阵的逆可算出：

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\tbinom {t-1}{0}}&{\tbinom {t-1}{1}}&{\tbinom {t-1}{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\-1&1&0\\1&-2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}6\\21\\45\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\tbinom {t-1}{0}}&{\tbinom {t-1}{1}}&{\tbinom {t-1}{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}6\\15\\9\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle =6{\tbinom {t-1}{0}}+15{\tbinom {t-1}{1}}+9{\tbinom {t-1}{2}}=6{\tbinom {t}{1}}+9{\tbinom {t}{2}}}$

这种二項式係數多項式结合朱世杰恒等式应用于等幂求和。

階乘公式能聯繫相鄰的二項式係數，例如在${\displaystyle k}$是正整數時，對任意${\displaystyle n}$有：

• ${\displaystyle {\binom {n+1}{k}}={\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}}$
• ${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n}{k}}{\binom {n-1}{k-1}}}$
• ${\displaystyle {\binom {n-1}{k}}-{\binom {n-1}{k-1}}={\frac {n-2k}{n}}{\binom {n}{k}}.}$

两个组合数相乘可作变换：

${\displaystyle {\binom {n}{i}}{\binom {i}{m}}={\binom {n}{m}}{\binom {n-m}{i-m}}}$[参 2]

• ${\displaystyle \sum _{r=0}^{n}{\binom {n}{r}}=2^{n}}$
• ${\displaystyle \sum _{r=0}^{k}{\binom {n+r-1}{r}}={\binom {n+k}{k}}}$
• ${\displaystyle \sum _{r=0}^{n-k}{\frac {(-1)^{r}(n+1)}{k+r+1}}{\binom {n-k}{r}}={\binom {n}{k}}^{-1}}$
• ${\displaystyle \sum _{r=0}^{n}{\binom {dn}{dr}}={\frac {1}{d}}\sum _{r=1}^{d}(1+e^{\frac {2\pi ri}{d}})^{dn}}$[参 3]

• ${\displaystyle \sum _{i=m}^{n}{\binom {a+i}{i}}={\binom {a+n+1}{n}}-{\binom {a+m}{m-1}}}$

${\displaystyle {\binom {a+m}{m-1}}+{\binom {a+m}{m}}+{\binom {a+m+1}{m+1}}+...+{\binom {a+n}{n}}={\binom {a+n+1}{n}}}$

• ${\displaystyle F_{n}=\sum _{i=0}^{\infty }{\binom {n-i}{i}}}$[参 4]

${\displaystyle F_{n-1}+F_{n}=\sum _{i=0}^{\infty }{\binom {n-1-i}{i}}+\sum _{i=0}^{\infty }{\binom {n-i}{i}}=1+\sum _{i=1}^{\infty }{\binom {n-i}{i-1}}+\sum _{i=1}^{\infty }{\binom {n-i}{i}}=1+\sum _{i=1}^{\infty }{\binom {n+1-i}{i}}=\sum _{i=0}^{\infty }{\binom {n+1-i}{i}}=F_{n+1}}$

• ${\displaystyle \sum _{i=m}^{n}{\binom {i}{a}}={\binom {n+1}{a+1}}-{\binom {m}{a+1}}}$

${\displaystyle {\binom {m}{a+1}}+{\binom {m}{a}}+{\binom {m+1}{a}}...+{\binom {n}{a}}={\binom {n+1}{a+1}}}$

• ${\displaystyle \sum _{r=0}^{n}{\binom {n}{r}}^{2}={\binom {2n}{n}}}$

• ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\binom {r_{1}+n-1-i}{r_{1}-1}}{\binom {r_{2}+i-1}{r_{2}-1}}={\binom {r_{1}+r_{2}+n-1}{r_{1}+r_{2}-1}}}$[参 5]

${\displaystyle (1-x)^{-r_{1}}(1-x)^{-r_{2}}=(1-x)^{-r_{1}-r_{2}}}$

${\displaystyle (1-x)^{-r_{1}}(1-x)^{-r_{2}}=(\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {r_{1}+n-1}{r_{1}-1}}x^{n})(\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {r_{2}+n-1}{r_{2}-1}}x^{n})=\sum _{n=0}^{\infty }(\sum _{i=0}^{n}{\binom {r_{1}+n-1-i}{r_{1}-1}}{\binom {r_{2}+i-1}{r_{2}-1}})x^{n}}$

${\displaystyle (1-x)^{-r_{1}-r_{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {r_{1}+r_{2}+n-1}{r_{1}+r_{2}-1}}x^{n}}$

• ${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}{\binom {m}{k-i}}={\binom {n+m}{k}}}$

• ${\displaystyle {\binom {n+k}{k}}^{2}=\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}^{2}{\binom {n+2k-j}{2k}}}$