平坦性

非線性系統 ${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {f} (\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t)),\quad \mathbf {x} (0)=\mathbf {x} _{0},\quad \mathbf {u} (t)\in R^{m},\quad \mathbf {x} (t)\in R^{n},{\text{Rank}}{\frac {\partial \mathbf {f} (\mathbf {x} ,\mathbf {u} )}{\partial \mathbf {u} }}=m}$

具有平坦性，假設存在輸出

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=(y_{1}(t),...,y_{m}(t))}$

滿足以下條件：

• 信號${\displaystyle y_{i},i=1,...,m}$可以表示為狀態${\displaystyle x_{i},i=1,...,n}$及輸入${\displaystyle u_{i},i=1,...,m}$、以及輸入對時間的有限次微分${\displaystyle u_{i}^{(k)},k=1,...,\alpha _{i}}$的函數：${\displaystyle \mathbf {y} =\Phi (\mathbf {x} ,\mathbf {u} ,{\dot {\mathbf {u} }},...,\mathbf {u} ^{(\alpha )})}$。
• 狀態${\displaystyle x_{i},i=1,...,n}$及輸入${\displaystyle u_{i},i=1,...,m}$可以表示為輸出${\displaystyle y_{i},i=1,...,m}$以及其對時間的有限次微分${\displaystyle y_{i}^{(k)},i=1,...,m}$的函數。
• ${\displaystyle \mathbf {y} }$的元素是微分獨立的，也就是說，不會使以下的微分方程成立${\displaystyle \phi (\mathbf {y} ,{\dot {\mathbf {y} }},\mathbf {y} ^{(\gamma )})=\mathbf {0} }$。

若上述條件至少有在局部成立，則（可能是虛擬的）輸出則稱為平坦輸出，系統即為平坦系統。

线性时不变系统 ${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t),\quad \mathbf {x} (0)=\mathbf {x} _{0}}$ 若${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {u} }$的信號維度相同，對應非線性系統平坦性的充分必要條件是系統有可控制性。因此线性时不变系统中這二種性質是等效的，可以互換。

平坦性的特性可以用在分析非線性動態系統，以及合成其控制器上。在解決軌跡規劃問題和漸近設定點追隨控制時特別好用。

• M. Fliess, J. L. Lévine, P. Martin and P. Rouchon: Flatness and defect of non-linear systems: introductory theory and examples. International Journal of Control 61(6), pp. 1327-1361, 1995 （页面存档备份，存于）
• A. Isidori, C.H. Moog et A. De Luca. A Sufficient Condition for Full Linearization via Dynamic State Feedback. 25th CDC IEEE, Athens, Greece, pp. 203 - 208, 1986

• 控制理論
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