平行軸定理

平行軸定理能夠很簡易的，從對於一個以質心為原點的座標系統的慣性張量，轉換至另外一個平行的座標系統。

對於三維空間中任意一参考點 Q 與以此参考點為原點的直角座標系 Qxyz ，一個剛體的慣性張量 ${\displaystyle \mathbf {I} \,\!}$ 是

${\displaystyle \mathbf {I} ={\begin{bmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{bmatrix}}\,\!}$ 。

這裏，對角元素 ${\displaystyle I_{xx}\,\!}$ 、${\displaystyle I_{yy}\,\!}$ 、${\displaystyle I_{zz}\,\!}$ 分別為對於 x-軸、y-軸、z-軸的慣性矩。設定 ${\displaystyle (x,\ y,\ z)\,\!}$ 為微小質量 ${\displaystyle dm\,\!}$ 對於點 Q 的相對位置。則這些慣性矩，可以精簡地用方程式定義為

${\displaystyle I_{xx}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \ y^{2}+z^{2}\ dm\,\!}$ ，

${\displaystyle I_{yy}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \ x^{2}+z^{2}\ dm\,\!}$ ，

${\displaystyle I_{zz}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \ x^{2}+y^{2}\ dm\,\!}$ 。

而非對角元素，稱為慣性積, 可以定義為

${\displaystyle I_{xy}=I_{yx}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\int \ xy\ dm\,\!}$ ，

${\displaystyle I_{xz}=I_{zx}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\int \ xz\ dm\,\!}$ ，

${\displaystyle I_{yz}=I_{zy}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\int \ yz\ dm\,\!}$ 。

假若已知剛體對於質心 G 的慣性張量 ${\displaystyle \mathbf {I} _{G}\,\!}$ ，質心 G 的位置是 ${\displaystyle ({\bar {x}},\ {\bar {y}},\ {\bar {z}})\,\!}$ ，則剛體對於原點 O 的慣性張量 ${\displaystyle \mathbf {I} \,\!}$ ，依照平行軸定理，可以表述為

${\displaystyle I_{xx}=I_{G,xx}+m({\bar {y}}^{2}+{\bar {z}}^{2})\,\!}$ ，

${\displaystyle I_{yy}=I_{G,yy}+m({\bar {x}}^{2}+{\bar {z}}^{2})\,\!}$ ，

${\displaystyle I_{zz}=I_{G,zz}+m({\bar {x}}^{2}+{\bar {y}}^{2})\,\!}$ ，

${\displaystyle I_{xy}=I_{yx}=I_{G,xy}-m{\bar {x}}{\bar {y}}\,\!}$ ，

${\displaystyle I_{xz}=I_{zx}=I_{G,xz}-m{\bar {x}}{\bar {z}}\,\!}$ ，

${\displaystyle I_{yz}=I_{zy}=I_{G,yz}-m{\bar {y}}{\bar {z}}\,\!}$ 。

證明：

慣性張量的平行軸定理

a) 參考右圖 ，讓 ${\displaystyle (x\,',\ y\,',\ z\,')\,\!}$ 、${\displaystyle (x,\ y,\ z)\,\!}$ 分別為微小質量 ${\displaystyle dm\,\!}$ 對質心 G 與原點 O 的相對位置：

${\displaystyle y=y\,'+{\bar {y}}\,\!}$ ，${\displaystyle z=z\,'+{\bar {z}}\,\!}$ 。

依照慣性張量的慣性矩定義方程式，

${\displaystyle I_{G,xx}=\int \ y\,'\,^{2}+z\,'\,^{2}\ dm\,\!}$ ，

${\displaystyle I_{xx}=\int \ y^{2}+z^{2}\ dm\,\!}$ 。

所以，

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{xx}&=\int \ (y\,'+{\bar {y}})^{2}+(z\,'+{\bar {z}})^{2}\ dm\\&=I_{G,xx}+m({\bar {y}}^{2}+{\bar {z}}^{2})\ .\\\end{aligned}}\,\!}$

相似地，可以求得 ${\displaystyle I_{yy}\,\!}$ 、${\displaystyle I_{zz}\,\!}$ 的方程式。

b) 依照慣性張量的慣性積定義方程式 ，

${\displaystyle I_{G,xy}=-\int \ x\,'y\,'\ dm\,\!}$ ，

${\displaystyle I_{xy}=-\int \ xy\ dm\,\!}$ 。

因為 ${\displaystyle x=x\,'+{\bar {x}}\,\!}$ ，${\displaystyle y=y\,'+{\bar {y}}\,\!}$ ，所以

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{xy}&=-\int \ (x\,'+{\bar {x}})(y\,'+{\bar {y}})\ dm\\&=I_{G,xy}-m{\bar {x}}{\bar {y}}\ .\\\end{aligned}}\,\!}$

相似地，可以求得對於點 O 的其他慣性積方程式。

實心長方體：a)座標系統的原點在質心。b)座標系統的原點在角落。

思考一個實心長方體對於質心 G 的慣性張量，

${\displaystyle I_{G}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{12}}m(w^{2}+h^{2})&0&0\\0&{\frac {1}{12}}m(h^{2}+d^{2})&0\\0&0&{\frac {1}{12}}m(w^{2}+d^{2})\end{bmatrix}}\,\!}$

如圖右，質心 G 的位置是 ${\displaystyle \left({\frac {d}{2}},\ {\frac {w}{2}},\ {\frac {h}{2}}\right)\,\!}$ 。依照平行軸定理，實心長方體對於點 O 的慣性矩與慣性積分別為

${\displaystyle I_{xx}={\frac {1}{12}}m(w^{2}+h^{2})+m\left(\left({\frac {w}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}\right)\,\!}$ 、

${\displaystyle I_{yy}={\frac {1}{12}}m(h^{2}+d^{2})+m\left(\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {d}{2}}\right)^{2}\right)\,\!}$ 、

${\displaystyle I_{zz}={\frac {1}{12}}m(w^{2}+d^{2})+m\left(\left({\frac {w}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {d}{2}}\right)^{2}\right)\,\!}$ 、

${\displaystyle I_{xy}=-m\left({\frac {w}{2}}\right)\left({\frac {d}{2}}\right)=-{\frac {mwd}{4}}\,\!}$ 、

${\displaystyle I_{xz}=-m\left({\frac {h}{2}}\right)\left({\frac {d}{2}}\right)=-{\frac {mhd}{4}}\,\!}$ 、

${\displaystyle I_{yz}=-m\left({\frac {w}{2}}\right)\left({\frac {h}{2}}\right)=-{\frac {mwh}{4}}\,\!}$ 。

因此，實心長方體對於點 O 的慣性張量是

${\displaystyle I_{G}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{3}}m(w^{2}+h^{2})&-{\frac {1}{4}}mwd&-{\frac {1}{4}}mhd\\-{\frac {1}{4}}mwd&{\frac {1}{3}}m(h^{2}+d^{2})&-{\frac {1}{4}}mwh\\-{\frac {1}{4}}mhd&-{\frac {1}{4}}mwh&{\frac {1}{3}}m(w^{2}+d^{2})\end{bmatrix}}\,\!}$

• 轉動慣量列表
• 垂直轴定理

• Beer, Ferdinand; E. Russell Johnston, Jr., William E. Clausen (2004). Vector Mechanics for Engineers. 7th edition. USA: McGraw-Hill, ISBN 0-07-230492-8

• 南台科技大學高職教師進修網站