庫拉托夫斯基十四集問題

對所有子集${\displaystyle A}$，將${\displaystyle A}$的補集記為${\displaystyle A^{/}}$，閉包記為${\displaystyle A^{-}}$，則有以下 3 件事實

1. ${\displaystyle A^{//}=A}$ (取補集是對合的)
2. ${\displaystyle A^{--}=A^{-}}$ (取閉包是冪等的)
3. ${\displaystyle A^{/-/-/-/-}=A^{/-/-}}$ (或等價的${\displaystyle A^{-/-/-/-}=A^{-/-}}$，等價性來自 1.)

由 1. 和 2. 知，只需要考慮以下兩個序列就足夠了

${\displaystyle S^{/},S^{/-},S^{/-/},S^{/-/-},S^{/-/-/},...}$ 及 ${\displaystyle S^{-},S^{-/},S^{-/-},S^{-/-/},S^{-/-/-},...}$

再由 3. 知，最多只會有 14 個相異集合。

若對${\displaystyle S}$取補集或閉包可以產生恰好 14 個相異集合，則稱${\displaystyle S}$是個 14-集。事實上，實數空間 ${\displaystyle \mathbb {R} }$與一般實數上的拓樸，形成的拓樸空間就有包含 14-集，例如

${\displaystyle (0,1)\cup (1,2)\cup \{3\}\cup {\bigl (}[4,5]\cap \mathbb {Q} {\bigr )},}$

其中 ( , ) 和 [ , ] 分別代表開區間和閉區間。

1962 年 T.A. Chapman 發現，對${\displaystyle S}$做任意有限次數的取内部或閉包，則最多可以得到 7 幾個不同的集合。證明仍然化約到討論下面的兩個序列

${\displaystyle S^{0},S^{0-},S^{0-0},S^{0-0-},S^{0-0-0},...}$ 及 ${\displaystyle S^{-},S^{-0},S^{-0-},S^{-0-0},S^{-0-0-},...}$

其中，${\displaystyle A^{0}}$代表${\displaystyle A}$的內部。

雖然問題是屬於點集拓樸學，但是出乎意料的，它的性質卻比較代數，而非拓樸。1960 年代，類似概念的問題不斷被提出，然而大部分卻已經跟拓樸本身不太有關係了[3]。

此外，取閉集或補集的運算定義了一個么半群，可以用來對不同拓樸空間做分類[4]。

• The Kuratowski Closure-Complement Theorem （页面存档备份，存于） ，作者：B. J. Gardner 和 Marcel Jackson。
• The Kuratowski Closure-Complement Problem （页面存档备份，存于），作者：Mark Bowron。