开普勒定律

根據开普勒第一定律，太陽位於橢圓軌道的一個焦點

开普勒的第一定律，亦称為椭圆定律、軌道定律：每一个行星都沿著各自的椭圆轨道环绕著太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点上。[1]

根據开普勒第二定律，在同樣時間間隔內，行星繞著太陽公轉所掃過的面積相等

开普勒第二定律，也称為等面积定律：在相等时间内，太阳和运动着的行星的连线所扫过的面积都是相等的。[1]

这一定律实际揭示了行星绕太阳公转的角动量守恒。用公式表示为

${\displaystyle S_{AB}=S_{CD}=S_{EK}}$ 。

由此定律可以推知，行星离太阳较近时，运行速度较大，离太阳较远时，运行速度较小。

根據开普勒第三定律，行星繞著太陽公轉的周期平方和它们的橢圆轨道的半长轴立方成正比

开普勒第三定律，也稱為週期定律：各个行星绕太阳公转周期的平方及其椭圆轨道的半长轴的立方成正比。[1] 用公式表示为

${\displaystyle {\frac {a^{3}}{\tau ^{2}}}=k}$ ；

其中${\displaystyle k}$是常量，它只与中心天体有关。

由这一定律导出：行星与太阳之间的引力与半径的平方成反比。这是艾萨克·牛顿的万有引力定律的一个重要基础。

用公式表示为

${\displaystyle {\frac {\tau ^{2}}{a^{3}}}=K}$ ；

这里，${\displaystyle a}$ 是行星公转轨道半长轴，${\displaystyle \tau }$ 是行星公转周期，${\displaystyle K}$ 是常数。

牛顿万有引力定律表明，任意两个粒子由通过连线方向的力相互吸引。该引力的大小与它们的质量乘积成正比，与它们距离的平方成反比。由于太阳超重于行星，可以假设太阳是固定的。用方程式表示，

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}=-G{\frac {mM}{r^{2}}}\ {\hat {\boldsymbol {r}}}}$ ；

这裏，${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ 是太阳作用於行星的万有引力，${\displaystyle m}$ 是行星的质量，${\displaystyle M}$ 是太阳的质量，${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$ 是行星相对于太阳的位移向量，${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {r}}}}$ 是 ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$ 的单位向量。

牛顿第二定律表明，物體受力後所产生的加速度 ${\displaystyle {\ddot {\boldsymbol {r}}}}$ ，和其所受的淨力 ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ 成正比，和其質量 ${\displaystyle m}$ 成反比，以方程式表示，

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}=m{\ddot {\boldsymbol {r}}}}$ 。

合并这两个方程式，

${\displaystyle {\ddot {\boldsymbol {r}}}=-G{\frac {M}{r^{2}}}\ {\hat {\boldsymbol {r}}}}$ 。 (1)

思考位置向量 ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}=r{\hat {\boldsymbol {r}}}}$ ，對於时间 ${\displaystyle t}$ 微分一次可得到速度向量，再微分一次则可得到加速度向量：

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {r}}}={\dot {r}}{\hat {\boldsymbol {r}}}+r{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$ ，

${\displaystyle {\ddot {\boldsymbol {r}}}=\left({\ddot {r}}{\hat {\boldsymbol {r}}}+{\dot {r}}{\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {r}}}}{\mathrm {d} t}}\right)+\left({\dot {r}}{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r{\ddot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r{\dot {\theta }}{\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}{\mathrm {d} t}}\right)=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\boldsymbol {r}}}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$ 。(2)

在这里，用到了单位向量微分方程式：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {r}}}}{\mathrm {d} t}}={\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$ ，

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}{\mathrm {d} t}}=-{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {r}}}}$ 。

其中，${\displaystyle \theta }$ 是向量 ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {r}}}}$ 的極角，${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$ 是該向量逆時針旋轉 90 度的向量。

合并方程式 (1) 与 (2) ，可以得到向量运动方程式：

${\displaystyle ({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\boldsymbol {r}}}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\boldsymbol {\theta }}}=-{\frac {GM}{r^{2}}}{\hat {\boldsymbol {r}}}}$

取各个分量，可以得到两个常微分方程式，一个是关于径向加速度，另一个是关于切向加速度：

${\displaystyle {\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=-{\frac {GM}{r^{2}}}}$ ，(3)

${\displaystyle r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}=0}$ 。(4)

导引开普勒第二定律只需切向加速度方程式。

试想行星的角动量 ${\displaystyle \ell =mr^{2}{\dot {\theta }}}$ 。由于行星的质量是常数，角动量對於时间的导数为

${\displaystyle {\dot {\ell }}=mr(2{\dot {r}}{\dot {\theta }}+r{\ddot {\theta }})=0}$ 。

角动量 ${\displaystyle \ell }$ 也是一个运动常数，即使距离 ${\displaystyle r}$ 与角速度 ${\displaystyle {\dot {\theta }}}$ 都可能会随时间变化。

在很小的時間 ${\displaystyle dt}$ 中，恆星與行星連線掃過的面積 ${\displaystyle dA}$ 近似於一個以 ${\displaystyle r}$ 為底， 以 ${\displaystyle r\tan d\theta \approx rd\theta }$ 為高的三角形，故

从时间 ${\displaystyle t_{1}}$ 到时间 ${\displaystyle t_{2}}$ 扫过的区域 ${\displaystyle \Delta A}$ ，

${\displaystyle \Delta A=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {1}{2}}\cdot r\cdot r{\dot {\theta }}\cdot \mathrm {d} t=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\ell }{2m}}\mathrm {d} t={\frac {\ell }{2m}}\cdot (t_{2}-t_{1})}$ 。

行星太阳连线扫过的区域面积相依于间隔时间 ${\displaystyle t_{2}-t_{1}}$ 。所以，开普勒第二定律是正确的。

设定 ${\displaystyle u={\frac {1}{r}}}$ 。这样，角速度是

${\displaystyle {\dot {\theta }}={\frac {\ell }{mr^{2}}}={\frac {\ell u^{2}}{m}}}$ 。

对时间微分和对角度微分有如下关系：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}={\dot {\theta }}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}={\frac {\ell u^{2}}{m}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}}$ 。

根据上述关系，径向距离 ${\displaystyle r={\frac {1}{u}}}$ 对时间的导数为：

${\displaystyle {\dot {r}}={\frac {\ell u^{2}}{m}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}{\frac {1}{u}}=-{\frac {\ell u^{2}}{m}}{\frac {1}{u^{2}}}{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} \theta }}=-{\frac {\ell }{m}}{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} \theta }}}$ 。

再求一次导数：

${\displaystyle {\ddot {r}}={\frac {\ell u^{2}}{m}}{\frac {\mathrm {d} {\dot {r}}}{\mathrm {d} \theta }}={\frac {\ell u^{2}}{m}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}(-{\frac {\ell }{m}}{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} \theta }})=-{\frac {\ell ^{2}u^{2}}{m^{2}}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}}$ 。

代入径向运动方程式 (3) ，${\displaystyle {\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=-{\frac {GM}{r^{2}}}}$ ，

${\displaystyle -{\frac {\ell ^{2}u^{2}}{m^{2}}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}-{\frac {\ell ^{2}u^{3}}{m^{2}}}=-GMu^{2}}$ 。

将此方程式除以 ${\displaystyle -{\frac {\ell ^{2}u^{2}}{m^{2}}}}$ ，则可得到一个简单的常係数非齐次线性全微分方程式来描述行星轨道：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u={\frac {GMm^{2}}{\ell ^{2}}}}$ 。

为了解这个微分方程，先列出一个特解

${\displaystyle u={\frac {GMm^{2}}{\ell ^{2}}}}$ 。

再求解剩余的常系数齐次线性全微分方程式，

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u=0}$ 。

它的解为

${\displaystyle u=C\ \cos(\theta -\theta _{0})}$ ；

这里，${\displaystyle C}$ 与 ${\displaystyle \theta _{0}}$ 是常数。合并特解和与齐次方程解，可以得到通解

${\displaystyle u={\frac {GMm^{2}}{\ell ^{2}}}+C\ \cos(\theta -\theta _{0})}$ 。

选择坐标轴，让 ${\displaystyle \theta _{0}=0}$ 。代回 ${\displaystyle u={\frac {1}{r}}}$ ，

${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {GMm^{2}}{\ell ^{2}}}(1+e\ \cos {\theta })}$ ；

其中，${\displaystyle e=C\ell ^{2}/GMm^{2}}$ 是离心率。

这是圆锥曲线的极坐标方程式，坐标系的原点是圆锥曲线的焦点之一。假若 ${\displaystyle 0<e<1}$ ，则 ${\displaystyle r}$ 所描述的是椭圆轨道。這证明了开普勒第一定律。

在建立牛顿万有引力定律的概念与数学架构上，开普勒第三定律是牛顿依据的重要线索之一。假若接受牛顿运动定律。试想一个虚拟行星环绕着太阳公转，行星的移动轨道恰巧呈圆形，轨道半径为 ${\displaystyle r}$ 。那么，太阳作用于行星的万有引力为 ${\displaystyle F={\frac {mv^{2}}{r}}}$ 。行星移动速度为 ${\displaystyle v={\frac {2\pi r}{\tau }}}$ 。依照开普勒第三定律，这速度 ${\displaystyle v}$ 与半径的平方根 ${\displaystyle {\sqrt {r}}}$ 成反比。所以，万有引力 ${\displaystyle F\propto {\frac {1}{r^{2}}}}$ 。猜想这大概是牛顿发现万有引力定律的思路，但这个猜想无法被证实，因为在他的计算本里，并沒有找到任何关于这方面的证据。

行星环绕太阳（焦点 F1 ）的椭圆轨道。

开普勒第一定律阐明，行星环绕太阳的轨道是椭圆形的。椭圆的面积是 ${\displaystyle \pi ab}$ ；这里，${\displaystyle a}$ 与 ${\displaystyle b}$ 分别为椭圆的半长轴与半短轴。在开普勒第二定律推导里，行星－太阳连线扫过区域速度 ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}}$ 为

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}={\frac {\ell }{2m}}}$ 。

所以，行星公转周期 ${\displaystyle \tau }$ 为

${\displaystyle \tau ={\frac {2m\pi ab}{\ell }}}$ 。(5)

关于此行星环绕太阳，椭圆的半長軸 ${\displaystyle a}$ ，半短軸 ${\displaystyle b}$ 与近拱距 ${\displaystyle r_{A}}$ （近拱点 A 与引力中心之间的距离），远拱距 ${\displaystyle r_{B}}$ （远拱点 B 与引力中心之间的距离）的关系分别为

${\displaystyle a={\frac {r_{A}+r_{B}}{2}}}$ ，(6)

${\displaystyle b={\sqrt {r_{A}\ r_{B}}}}$ 。(7)

如果想要知道半長軸与半短軸，必须先求得近拱距与远拱距。依据能量守恒定律，

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\theta }}^{2}-G{\frac {mM}{r}}}$ 。

在近拱点 A 与远拱点 B，径向速度都等于零：

${\displaystyle {\dot {r}}=0}$ 。

所以，

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\theta }}^{2}-G{\frac {mM}{r}}={\frac {\ell ^{2}}{2mr^{2}}}-G{\frac {mM}{r}}}$ 。

稍微加以编排，可以得到 ${\displaystyle r}$ 的一元二次方程式：

${\displaystyle r^{2}+{\frac {GmM}{E}}r-{\frac {\ell ^{2}}{2mE}}=0}$ 。

其兩個根分别为椭圆轨道的近拱距 ${\displaystyle r_{A}}$ 与远拱距 ${\displaystyle r_{B}}$ 。

${\displaystyle r_{A}=-{\frac {{\frac {GmM}{E}}-{\sqrt {\left({\frac {GmM}{E}}\right)^{2}+{\frac {2\ell ^{2}}{mE}}}}}{2}}}$ ；

${\displaystyle r_{B}=-{\frac {{\frac {GmM}{E}}+{\sqrt {\left({\frac {GmM}{E}}\right)^{2}+{\frac {2\ell ^{2}}{mE}}}}}{2}}}$ 。

代入方程式 (6) 与 (7) ，

${\displaystyle a=-{\frac {GmM}{2E}}}$ ，

${\displaystyle b={\frac {\ell }{\sqrt {-2mE}}}={\frac {\ell }{m}}{\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {GM}}}}$ 。

代入方程式 (5) ，周期的方程式为

${\displaystyle \tau ={\frac {2\pi a^{3/2}}{\sqrt {GM}}}}$ 。

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