牛頓旋轉軌道定理

增添立方反比力會使得粒子的運動路徑也有所改變。由於主要目標是要了解徑向變量和角變量之間的關係，所以不需考慮徑向運動和角運動對於時間的關係。為了達到這目標，不限制角變量必須在${\displaystyle 0\,\!}$至${\displaystyle 2\pi \,\!}$之間；隨著粒子一圈又一圈地繞著力中心點公轉，角變量可以無定限地遞增。例如，假設粒子繞著力中心點公轉兩圈，然後繞到初始位置，其終結角度不等於初始角度，而是增加了2×360° = 720°。角變量正式定義為角速度的積分：

${\displaystyle \theta _{1}(t)\equiv \int _{0}^{t}\omega _{1}(t')\ dt'\,\!}$、

${\displaystyle \theta _{2}(t)\equiv \int _{0}^{t}\omega _{2}(t')\ dt'\,\!}$；

其中，${\displaystyle \omega _{1}\,\!}$和${\displaystyle \omega _{2}\,\!}$分別為第一個粒子和第二個粒子的角速度。

假設第一個粒子的路徑表示為${\displaystyle r=g(\theta _{1})\,\!}$，則因為${\displaystyle \theta _{2}=k\theta _{1}\,\!}$，第二個粒子的路徑應該表示為${\displaystyle r=g(\theta _{2}/k)\,\!}$。例如，令第一個粒子的橢圓路徑為

${\displaystyle {\frac {1}{r}}=A+B\cos \theta _{1}\,\!}$；

其中，${\displaystyle A\,\!}$和${\displaystyle B\,\!}$都是常數。

那麼，第二個粒子的路徑應為

${\displaystyle {\frac {1}{r}}=A+B\cos \left({\frac {\theta _{2}}{k}}\right)\,\!}$。

為了簡化方程式，牛頓以新函數${\displaystyle C(r)\,\!}$來表達任意連心力${\displaystyle F_{2}(r)\,\!}$：

${\displaystyle F_{2}(r)={\frac {C(r)}{Rr^{3}}}\,\!}$；

其中，${\displaystyle R\,\!}$是用來近似近圓形軌道的橢圓形軌道的半正焦弦。

牛頓將${\displaystyle C(r)\,\!}$展開為徑向距離${\displaystyle r\,\!}$的級數（這方法後來知為泰勒展開）[27]，認定級數的立方項目為增添的立方反比力${\displaystyle \Delta F(r)\,\!}$，這樣，就可以給出近圓形軌道角速度的標度因子${\displaystyle k\,\!}$ [24]：

${\displaystyle {\frac {1}{k^{2}}}=\left({\frac {R}{C}}\right)\left.{\frac {dC}{dr}}\right|_{r=R}\,\!}$。

換句話說，這任意連心力${\displaystyle F_{2}(r)\,\!}$的一部分${\displaystyle \Delta F(r)\,\!}$使得角運動增加角速度為${\displaystyle k\,\!}$倍，同時不顯著地影響徑向運動。對於平方反比力，粒子的運動軌道是閉合軌道，${\displaystyle \alpha _{1}\,\!}$等於${\displaystyle 180^{\circ }\,\!}$；近拱向量與遠拱向量同線。按照方程式${\displaystyle \theta _{2}=k\theta _{1}\,\!}$，對於任意連心力${\displaystyle F(r)\,\!}$，其拱角${\displaystyle \alpha _{2}\,\!}$等於${\displaystyle k\times 180^{\circ }\,\!}$。

牛頓舉出三個例子來說明他的公式。在前兩個例子裏，連心力遵守冪定律${\displaystyle F(r)=r^{n-3}\,\!}$，${\displaystyle C(r)\,\!}$與${\displaystyle r^{n}\,\!}$成正比。按照前面的公式，可以推導出角運動被乘以因子${\displaystyle k=1/{\sqrt {n}}\,\!}$。所以，拱角${\displaystyle \alpha \,\!}$符合拱角方程式：

${\displaystyle \alpha =180^{\circ }/{\sqrt {n}}\,\!}$。

回想前面所述，軌道的旋轉速度為${\displaystyle \Omega =(k-1)\omega _{1}\,\!}$。假設粒子從一個拱點繞動到另一個拱點，需要時間${\displaystyle T\,\!}$，則軌道或軌道長軸會旋轉${\displaystyle \Omega T=(k-1)\omega _{1}T=(k-1)180^{\circ }\,\!}$角度。

• 對於像牛頓萬有引力定律一類的平方反比定律，${\displaystyle k=1\,\!}$，拱角${\displaystyle \alpha \,\!}$等於${\displaystyle 180^{\circ }\,\!}$，橢圓軌道的旋轉角度為${\displaystyle 0^{\circ }\,\!}$，橢圓軌道是固定不動的。

• 對於像虎克定律一類的線性連心力關係，${\displaystyle k=0.5\,\!}$，拱角${\displaystyle \alpha \,\!}$等於${\displaystyle 90^{\circ }\,\!}$，橢圓軌道的旋轉角度為${\displaystyle -90^{\circ }\,\!}$，橢圓軌道會往反方向旋轉${\displaystyle 90^{\circ }\,\!}$。

用來衡量作用力定律的距離冪，拱角是一個的優良的指示量。牛頓就是用這指示量來偵測連心力的種類。在《自然哲學的數學原理》，第三冊裏，牛頓因此推斷太陽施加於行星的作用力是平方反比力；他又推斷地球施加於月球的作用力也是平方反比力，天文觀測到的進動誤差是由太陽重力造成的。可是，牛頓無法給出一個準確的重力模型來描述月亮軌道的拱點進動。

在第三個例子裏，牛頓計算兩個冪定律的疊和：

${\displaystyle C(r)\propto ar^{m}+br^{n}\,\!}$；

其中，${\displaystyle a\,\!}$和${\displaystyle b\,\!}$都是係數常數，${\displaystyle m\,\!}$和${\displaystyle n\,\!}$都是指數常數。

對於這案例，角速度增加的倍數為

${\displaystyle k={\sqrt {\frac {a+b}{am+bn}}}\,\!}$。

所以，拱角${\displaystyle \alpha \,\!}$為

${\displaystyle \alpha ={\sqrt {\frac {a+b}{am+bn}}}\times 180^{\circ }\,\!}$。

這兩個公式（冪定律和冪疊加定律）為牛頓研究月球拱點進動的重要工具。

在牛頓的巨著《自然哲學的數學原理》第一冊的命題43至命題45裏，可以找到他的導引[40]。這些導引大多數是建立於幾何學。

示圖說明牛頓的導引。藍行星的橢圓軌道以虛線表示，綠行星的橢圓軌道以實線表示。兩個橢圓軌道共同享有焦點C（力中心點）。${\displaystyle \angle UCP\,\!}$和${\displaystyle \angle VCQ\,\!}$都等於${\displaystyle \theta _{1}\,\!}$，而${\displaystyle \angle UCQ\,\!}$等於${\displaystyle \theta _{2}=k\theta _{1}\,\!}$。相對於固定不動的虛線橢圓，實線橢圓旋轉了${\displaystyle \angle UCV\,\!}$，等於${\displaystyle (k-1)\theta _{1}\,\!}$。三個行星（藍，綠，紅）與力中心點的距離都等於${\displaystyle r\,\!}$。

物體移動於繞著力中心點旋轉的曲線，必定如同物體移動於固定不動的相同曲線[41]。

詳細地解釋這句話，假設一條曲線${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}\,\!}$繞著力中心點旋轉，另外一條同樣的曲線${\displaystyle {\mathcal {C}}_{2}\,\!}$固定不動，則由於作用力為連心力，物體移動於曲線${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}\,\!}$的運動，必定如同物體移動於曲線${\displaystyle {\mathcal {C}}_{2}\,\!}$的運動。

牛頓的命題43導引依賴在《自然哲學的數學原理》裏已先行推導出來的命題2[42]。命題2給出一種能夠查明一個粒子所感受到的合力是否為連心力的測驗：牛頓表明，一個作用力是連心力，若且維若，在相等時間內，粒子的連心線掃過的面積都是相等的。

牛頓的導引如下： 假設一粒子感受到任意連心力${\displaystyle {F}_{1}(r)\,\!}$，安置極作標系的原點於力中心點，則粒子位置的徑向坐標和角坐標分別為${\displaystyle (r(t),\theta _{1}(t))\,\!}$。在無窮小時間${\displaystyle dt\,\!}$內，其連心線掃過的面積${\displaystyle dA_{1}\,\!}$為

${\displaystyle dA_{1}={\frac {1}{2}}r^{2}d\theta _{1}\,\!}$。

由於粒子感受到的作用力為連心力，根據牛頓命題2，在相等時間內，粒子的連心線掃過相等角度，即粒子的連心線掃過的面積速度為常數：

${\displaystyle {\frac {dA_{1}}{dt}}={\frac {1}{2}}r^{2}{\frac {d\theta _{1}}{dt}}=\mathrm {constant} \,\!}$。

在拱點，離力中心點最近或最遠的位置，速度向量與徑向向量相互垂直，單位質量的角動量（表示為${\displaystyle h_{1}\,\!}$）與常數面積速度的關係式為

${\displaystyle h_{1}={\frac {L_{1}}{m}}=rv_{1}=r^{2}{\frac {d\theta _{1}}{dt}}=2{\frac {dA_{1}}{dt}}\,\!}$。

第二個粒子的軌道的徑向函數與第一個粒子完全相同，但角函數${\displaystyle \theta _{2}(t)\,\!}$是第一個粒子的${\displaystyle k\,\!}$倍：

${\displaystyle \theta _{2}(t)=k\theta _{1}(t)\,\!}$。

第二個粒子的面積速度${\displaystyle h_{2}\,\!}$是第一個粒子的面積速度乘以因子${\displaystyle k\,\!}$：

${\displaystyle h_{2}=2{\frac {dA_{2}}{dt}}=r^{2}{\frac {d\theta _{2}}{dt}}=kr^{2}{\frac {d\theta _{1}}{dt}}=2k{\frac {dA_{1}}{dt}}=kh_{1}\,\!}$。

由於${\displaystyle k\,\!}$是常數，在相等時間內，第二個粒子的連心力也掃過相等面積。因此，根據命題2，第二個粒子所感受到的作用力也是連心力${\displaystyle F_{2}(r)\,\!}$。這是命題43的結論。

分別感受到兩個不同的作用力，一個物體移動於固定不動的軌道，如同另外一個物體移動於繞著力中心點旋轉的軌道，則這兩個作用力的差值與徑向距離的立方成反比[43]。

為了能從原本連心力${\displaystyle F_{1}(r)\,\!}$計算出新的連心力${\displaystyle F_{2}(r)\,\!}$，牛頓應用幾何與向心加速度的定義來計算它們的差值${\displaystyle F_{2}(r)-F_{1}(r)\,\!}$。他證明這差值與徑向距離的立方成反比：

${\displaystyle F_{2}(r)-F_{1}(r)={\frac {L_{1}^{2}-L_{2}^{2}}{mr^{3}}}\,\!}$。

仔細分析一個移動中的粒子所感受到的徑向作用力${\displaystyle F_{r}\,\!}$，這作用力可以分為兩部分，一部分給出牛頓第二定律的加速度項目${\displaystyle m{\ddot {r}}\,\!}$，另一部分給出向心力項目${\displaystyle mv_{\theta }^{2}/r=mr{\dot {\theta }}^{2}\,\!}$：

${\displaystyle F_{r}=m{\ddot {r}}+mr{\dot {\theta }}^{2}\,\!}$。

此命題的兩個粒子的徑向距離相同，${\displaystyle r_{1}=r_{2}\,\!}$，因此涉及加速度項目的那一部分相等，所以，這兩個粒子只感受到不同大小的向心力：

${\displaystyle F_{2}(r)-F_{1}(r)=mr{\dot {\theta }}_{1}^{2}-mr{\dot {\theta }}_{2}^{2}={\frac {L_{1}^{2}-L_{2}^{2}}{mr^{3}}}\,\!}$。

尋找近圓形軌道的拱點的運動[44]。

在這命題裏，從他的旋轉軌道定理，牛頓推導出「牛頓拱點進動定理」：對於近圓形軌道，假若連心力遵守冪定律${\displaystyle F(r)=r^{n-3}\,\!}$，則拱角遵守拱角方程式：

${\displaystyle \alpha =180^{\circ }/{\sqrt {n}}\,\!}$。

牛頓拱點進動定理可以用來研究近圓形軌道。對於行星軌道和月亮迴繞地球的公轉軌道，這近似通常成立。這近似也使得牛頓能夠計算一些不同種類的連心力定律，不僅僅是平方反比定律或立方反比定律。

假設第一個粒子的軌道為橢圓軌道，則這粒子必定感受到平方反比力[45]

${\displaystyle F_{1}(r)=\mu /r^{2}=-{\frac {L_{1}^{2}}{mRr^{2}}}\,\!}$；

其中，${\displaystyle R=a(1-e^{2})\,\!}$是半正焦弦，${\displaystyle a\,\!}$是半長軸，${\displaystyle e\,\!}$是橢圓離心率。

將這公式代入命題44的方程式，可以得到

${\displaystyle F_{2}(r)={\frac {R(L_{1}^{2}-L_{2}^{2})-rL_{1}^{2}}{mRr^{3}}}\,\!}$。

對於近圓形軌道，將徑向距離近似為

${\displaystyle r\approx r_{max}-\Delta r\,\!}$；

其中，${\displaystyle r_{max}=a(1+e)\,\!}$是遠拱距，${\displaystyle \Delta r\,\!}$是偏差，設定為超小於遠拱距。

牛頓以新函數${\displaystyle C(r)\,\!}$來表達任意連心力${\displaystyle F_{2}(r)\,\!}$，並且將${\displaystyle C(r)\,\!}$展開為${\displaystyle r\,\!}$的級數，取至${\displaystyle \Delta r\,\!}$的一階：

${\displaystyle F_{2}(r)={\frac {C(r)}{Rr^{3}}}\approx {\frac {C(r_{max})-C^{\prime }(r_{max})\Delta r}{Rr^{3}}}\approx {\frac {R(L_{1}^{2}-L_{2}^{2})-(r_{max}-\Delta r)L_{1}^{2}}{mRr^{3}}}\,\!}$。

匹配零階項目。這時，可以將${\displaystyle r_{max}\,\!}$近似為${\displaystyle R\,\!}$：

${\displaystyle C(r_{max})=[R(L_{1}^{2}-L_{2}^{2})-r_{max}L_{1}^{2}]/m\approx -RL_{2}^{2}/m\,\!}$。

再匹配一階項目：

${\displaystyle C^{\prime }(r_{max})=-L_{1}^{2}/m\,\!}$。

綜合這兩個方程式，可以得到近圓形軌道角速度的標度因子${\displaystyle k\,\!}$的方程式[24]：

${\displaystyle \left({\frac {R}{C}}\right)\left.{\frac {dC}{dr}}\right|_{r=R}={\frac {L_{1}^{2}}{L_{2}^{2}}}={\frac {1}{k^{2}}}\,\!}$。

以方程式表達連心力為${\displaystyle F_{2}(r)=\mu /r^{3-n}\,\!}$，則${\displaystyle C(r)=\mu r^{n}\,\!}$，標度因子為${\displaystyle k=1/{\sqrt {n}}\,\!}$。

換句話說，假設第一個粒子感受到平方反比力${\displaystyle F_{2}(r)=\mu /r^{2}\,\!}$，而第二個粒子感受到任意連心力${\displaystyle F_{2}(r)=\mu /r^{3-n}\,\!}$，則第二個粒子角速度為第一個粒子角速度的${\displaystyle k\,\!}$倍，第一個粒子的拱角為${\displaystyle \alpha _{1}=180^{\circ }\,\!}$，第二個粒子的拱角為${\displaystyle \alpha _{2}=k\times 180^{\circ }\,\!}$。總結，拱角方程式為

${\displaystyle \alpha =180^{\circ }/{\sqrt {n}}\,\!}$。

愛德蒙·惠特克（）[46]和錢德拉塞卡[41]都曾經分別發表過有關於牛頓旋轉軌道定理的現代導引。

假設，第二個粒子的角速度${\displaystyle \omega _{2}\,\!}$是第一個粒子的角速度${\displaystyle \omega _{1}\,\!}$的${\displaystyle k\,\!}$倍：

${\displaystyle \omega _{2}={\frac {d\theta _{2}}{dt}}=k{\frac {d\theta _{1}}{dt}}=k\omega _{1}\,\!}$。

由於兩個粒子的徑向行為${\displaystyle r(t)\,\!}$相同，兩個粒子的守恆角動量${\displaystyle L_{1}\,\!}$、${\displaystyle L_{2}\,\!}$之間的關係為因子${\displaystyle k\,\!}$：

${\displaystyle L_{2}=mr^{2}\omega _{2}=mr^{2}k\omega _{1}=kL_{1}\,\!}$。

一个運動於連心勢${\displaystyle V(r)\,\!}$的粒子的拉格朗日量等於其動能减去連心勢：

${\displaystyle {\mathcal {L}}(r,\theta )={\frac {m}{2}}\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\right)-V(r)={\frac {m}{2}}\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)-V(r)\,\!}$；

其中，${\displaystyle (x,y)\,\!}$是粒子的直角坐標。

其拉格朗日方程式為

${\displaystyle m{\ddot {r}}-mr{\dot {\theta }}^{2}-F(r)=0\,\!}$、

${\displaystyle {\frac {d}{{d}t}}(mr^{2}{\dot {\theta }})=0\,\!}$；

其中，${\displaystyle F(r)=-\ {\frac {\partial V(r)}{\partial r}}\,\!}$為連心力。

移動於連心勢${\displaystyle V(r)\,\!}$的粒子的徑向運動方程式乃是由拉格朗日方程式給出：

${\displaystyle m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-mr\omega ^{2}=m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=F(r)\,\!}$。

分別應用徑向運動方程式於這兩個粒子，

${\displaystyle m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}=F_{1}(r)+{\frac {L_{1}^{2}}{mr^{3}}}=F_{2}(r)+{\frac {L_{2}^{2}}{mr^{3}}}=F_{2}(r)+{\frac {k^{2}L_{1}^{2}}{mr^{3}}}\,\!}$；

其中，${\displaystyle F_{1}(r)\,\!}$、${\displaystyle F_{2}(r)\,\!}$分別為作用於第一個粒子和第二個粒子的連心力。

稍加編排，可以得到增力方程式：

${\displaystyle F_{2}(r)=F_{1}(r)+{\frac {L_{1}^{2}}{mr^{3}}}\left(1-k^{2}\right)\,\!}$。

這兩個連心力之間的關係式的內涵，可以解釋為，角速度（或等價地，角動量）的不同造成了向心力需求的不同；為了滿足這需求，徑向力必須增添一個立方反比力。

牛頓旋轉軌道定理可以等價地以勢能來表達，徑向力方程式以勢能寫為

${\displaystyle -\ {\frac {dV_{2}}{dr}}=-\ {\frac {dV_{1}}{dr}}+{\frac {L_{1}^{2}}{mr^{3}}}\left(1-k^{2}\right)\,\!}$

對於徑向距離${\displaystyle r\,\!}$ 積分，牛頓旋轉軌道定理表明，增添一個平方反比連心勢於任意給定的勢能${\displaystyle V_{1}(r)\,\!}$，可以使角速度增快為${\displaystyle k\,\!}$倍：

${\displaystyle V_{2}(r)=V_{1}(r)+{\frac {L_{1}^{2}}{2mr^{2}}}\left(1-k^{2}\right)\,\!}$。

粒子的徑向方程式為

${\displaystyle m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=F(r)\,\!}$。

注意到${\displaystyle L=mr^{2}{\dot {\theta }}\,\!}$，對於時間的導數與對於角度的導數之間的關係式為

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}={\frac {L}{mr^{2}}}\ {\frac {d}{d\theta }}\,\!}$。

設定徑向距離的倒數${\displaystyle u=1/r\,\!}$，變量代換，稍加運算，可以得到粒子路徑的不含時微分方程式：

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-\ {\frac {mF(1/u)}{L^{2}u^{2}}}\,\!}$。

以方程式表達連心力為${\displaystyle F=\mu u^{3-n}\,\!}$，將這代入路徑微分方程式：

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-\ {\frac {m\mu }{L^{2}}}u^{1-n}\,\!}$。

將近圓形軌道近似為橢圓軌道，${\displaystyle u=[1+\epsilon \,\cos(\theta /k)]/R\,\!}$；其中，${\displaystyle R\,\!}$是橢圓軌道的半正焦弦，${\displaystyle \epsilon \,\!}$是離心率。假設${\displaystyle \epsilon <<1\,\!}$，取至${\displaystyle \epsilon \,\!}$的一次方，

${\displaystyle -{\frac {\epsilon }{k^{2}R}}\ \cos(\theta /k)+{\frac {1}{R}}+{\frac {\epsilon }{R}}\ \cos(\theta /k)\approx {\frac {m\mu }{L^{2}R^{1-n}}}\left[1+(1-n)\epsilon \,\cos(\theta /k)\right]\,\!}$。

注意到零次方項目，${\displaystyle 1-{\frac {m\mu R^{n}}{L^{2}}}=0\,\!}$，所以${\displaystyle L^{2}=m\mu R^{n}\,\!}$。剩下的方程式簡化為

${\displaystyle -{\frac {\epsilon }{k^{2}}}\ \cos(\theta /k)+\epsilon \,\cos(\theta /k)\approx (1-n)\epsilon \,\cos(\theta /k)\,\!}$。

為了要滿足這方程式，必須設定${\displaystyle k^{2}=1/n\,\!}$。那麼，路徑方程式為

${\displaystyle u=[1+\epsilon \,\cos(\theta /k)]/R\,\!}$。

拱點是徑向距離${\displaystyle r\,\!}$為極值之點，${\displaystyle u\,\!}$對於角度${\displaystyle \theta \,\!}$的導數等於零。因此，${\displaystyle \theta /k=N\pi \,\!}$；其中；${\displaystyle N\,\!}$是整數。所以，近拱向量與遠拱向量之間的夾角角度為　

${\displaystyle \theta =k\pi =k\times 180^{\circ }=180^{\circ }/{\sqrt {n}}\,\!}$