弗莱纳公式

平面曲线上的亮点的切向量和法向量，以及标架在运动过程中的旋转。

记r(t) 为欧式空间R³中的曲线，表示粒子在时间 t 时刻的位置向量。 弗勒内公式只适用于正则曲线，即速度向量r′(t)和加速度向量r′′(t)不为零的曲线。

记 s(t) 为 t时刻粒子所在位置到曲线上某定点的弧长：

${\displaystyle s(t)=\int _{0}^{t}\|\mathbf {r} '(\tau )\|d\tau .}$

由于假设r′ ≠ 0，因此可以将 t 表示为 s 的函数，因此可将曲线表示为弧长 s 的函数 r(s) = r(t(s))。 s 通常也被称为曲线的弧长参数。

对于由弧长参数定义的正则曲线 r(s)，弗勒内标架 (或弗勒内基底)定义如下：

• 单位切向量 T：

${\displaystyle \mathbf {T} ={d\mathbf {r} \over ds}.\qquad \qquad (1)}$

• 主法向量 N：

${\displaystyle \mathbf {N} ={{\frac {d\mathbf {T} }{ds}} \over \left\|{\frac {d\mathbf {T} }{ds}}\right\|}.\qquad \qquad (2)}$

• 副法向量 B 定义为 T 和 N 的外积：

${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {T} \times \mathbf {N} .\qquad \qquad (3)}$

螺旋线上弗勒内标架的运动。蓝色的箭头表示切向量，红色的箭头表示法向量，黑色的箭头表示副法向量。

由于 ${\displaystyle |\mathbf {T} |=1,{\frac {d(\mathbf {T} \cdot \mathbf {T} )}{ds}}=2\mathbf {T} \cdot \mathbf {N} =0,}$ 所以 N 与 T 垂直。 方程 (3) 说明 B 垂直于 T 和 N，因此向量 T，N，B 互相垂直。

弗勒内公式如下：

${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {d\mathbf {T} }{ds}}&=&&\kappa \mathbf {N} &\\&&&&\\{\frac {d\mathbf {N} }{ds}}&=&-\kappa \mathbf {T} &&+\,\tau \mathbf {B} \\&&&&\\{\frac {d\mathbf {B} }{ds}}&=&&-\tau \mathbf {N} &\end{matrix}}}$

其中 κ 为曲线的曲率，τ 为曲线的挠率。

弗勒内公式有时也被称作弗勒内定理，并且可以写做矩阵的形式：[1]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {T'} \\\mathbf {N'} \\\mathbf {B'} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\kappa &0\\-\kappa &0&\tau \\0&-\tau &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}.}$

其中的矩阵是反对称矩阵。

对弧长s求导，可以看成是对切方向的协变导数。

• 曲线仿射几何
• 曲线微分几何
• 达布标架
• 运动学

• Crenshaw, H.C.; Edelstein-Keshet, L., , Bulletin of Mathematical Biology, 1993, 55 (1): 213–230
• Etgen, Garret; Hille, Einar; Salas, Saturnino, 7th, John Wiley & Sons: 896, 1995
• Frenet, F., (PDF), Thèse, Toulouse, 1847 [2010-03-01], （原始内容 (PDF)存档于2011-07-16）. Abstract in J. de Math. '17', 1852.
• Goriely, A.; Robertson-Tessi, M.; Tabor, M.; Vandiver, R., , (PDF), Springer-Verlag, 2006, （原始内容 (PDF)存档于2006-12-29）.
• Griffiths, Phillip, , Duke Mathematics Journal, 1974, 41 (4): 775–814, doi:10.1215/S0012-7094-74-04180-5.
• Guggenheimer, Heinrich, , Dover, 1977, ISBN 0-486-63433-7
• Hanson, A.J., (PDF), Indiana University Technical Report, 2007
• Iyer, B.R.; Vishveshwara, C.V., , Phys. Rev., D, 1993, 48 (12): 5706–5720
• Jordan, Camille, , C. R. Acad. Sci. Paris, 1874, 79: 795–797
• Kühnel, Wolfgang, , Student Mathematical Library 16, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2002, ISBN 978-0-8218-2656-0, MR1882174
• Serret, J. A., (PDF), J. De Math., 1851, 16 [2010-03-01], （原始内容 (PDF)存档于2022-03-15）.
• Spivak, Michael, , Publish or Perish, Inc., 1999.
• Sternberg, Shlomo, , Prentice-Hall, 1964
• Struik, Dirk J., , Reading, Mass: Addison-Wesley, 1961.

• Rudy Rucker's KappaTau Paper.
• Very nice visual representation for the trihedron