弛緩 (核磁共振)

另外因為主磁場的局部不均勻，導致體積元素(voxel)內失相(dephase)，使得x-y平面上實際的訊號衰減速度遠快於T₂時間衰減。

${\displaystyle M_{xy}(t)=e^{-t/T_{2}^{*}}\cdot M_{xy}(t=0);\,}$

${\displaystyle T_{2}^{*}<<T_{2}\,}$

如此對應的橫向弛緩時間常數為T₂^*，其值遠小於T₂，兩者關係為：

${\displaystyle {\frac {1}{T_{2}^{*}}}={\frac {1}{T_{2}}}+\gamma \Delta B_{0}}$

其中γ為旋磁比；ΔB₀表示局部磁場不均勻的強度差值。

以下為常見健康人體組織的兩個弛緩時間常數大概數值，僅供參考。　

1948年由三位學者尼可拉斯·布倫柏根(Nicolaas Bloembergen)、愛德華·珀塞爾(Edward Purcell)、龐德(R. V. Pound)提出Bloembergen-Purcell-Pound理論(簡稱BPP理論)，對純物質的弛緩常數T₁、T₂數值隨物質狀態變動，從固相到液相都能成功解釋。這項理論採取了分子滾動(tumbling)對於電磁場局域擾動的影響。

從這理論所得到的T₁、T₂結果為：

 ${\displaystyle {\frac {1}{T_{1}}}=K[{\frac {\tau _{c}}{1+\omega _{0}^{2}\tau _{c}^{2}}}+{\frac {4\tau _{c}}{1+4\omega _{0}^{2}\tau _{c}^{2}}}]}$
 ${\displaystyle {\frac {1}{T_{2}}}={\frac {K}{2}}[3\tau _{c}+{\frac {5\tau _{c}}{1+\omega _{0}^{2}\tau _{c}^{2}}}+{\frac {2\tau _{c}}{1+4\omega _{0}^{2}\tau _{c}^{2}}}]}$

其中${\displaystyle \omega _{0}}$是拉莫頻率，對應於主磁場強度${\displaystyle B_{0}}$；${\displaystyle \tau _{c}}$即為分子滾動相關的「關聯時間」。${\displaystyle K={\frac {3\mu ^{2}}{160\pi ^{2}}}{\frac {\hbar ^{2}\gamma ^{4}}{r^{6}}}}$為常數——μ是自旋1/2原子核的磁矩強度，π是圓周率，${\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$為約化普朗克常數，γ是旋磁比，r是兩個帶有磁矩的原子核的間距。

以不含氧17的液態純水中水分子為例，K的值為1.02×10¹⁰ 秒^-2，關聯時間${\displaystyle \tau _{c}}$的尺度大概是1 皮秒=${\displaystyle 10^{-12}}$ 秒，設以5×10^-12 秒來計算；而氫核(質子)在1.5特斯拉的主磁場底下的拉莫頻率約為64 兆赫，故可以估算：

${\displaystyle \omega _{0}\tau _{c}=3.2\times 10^{-5}}$(無因次)

${\displaystyle T_{1}=(1.02\times 10^{10}[{\frac {5\times 10^{-12}}{1+(3.2\times 10^{-5})^{2}}}+{\frac {4\cdot 5\times 10^{-12}}{1+4\cdot (3.2\times 10^{-5})^{2}}}])^{-1}}$= 3.92 秒

${\displaystyle T_{2}=({\frac {1.02\times 10^{10}}{2}}[3\cdot 5\times 10^{-12}+{\frac {5\cdot 5\times 10^{-12}}{1+(3.2\times 10^{-5})^{2}}}+{\frac {2\cdot 5\times 10^{-12}}{1+4\cdot (3.2\times 10^{-5})^{2}}}])^{-1}}$= 3.92 秒

和實驗所得的3.6秒相當接近。此外可以看到在此極限之下，T₁會和T₂相等。

1. ^ BPP理論：N. Bloembergen, E.M. Purcell, R.V. Pound "Relaxation Effects in Nuclear Magnetic Resonance Absorption" Physical Review (1948) v73. 7:679-746