弱*拓撲

在域${\displaystyle \mathbb {K} }$（${\displaystyle \mathbb {K} }$是${\displaystyle \mathbb {R} }$或${\displaystyle \mathbb {C} }$）上的賦範空間${\displaystyle E}$中，每一個元素${\displaystyle x}$，都可以定義對偶空間${\displaystyle E^{*}}$上的一個線性算子${\displaystyle {\hat {x}}(f):=f(x)}$。弱*拓撲是在${\displaystyle E^{*}}$上最弱的拓撲，使得所有這樣的${\displaystyle {\hat {x}}:E^{*}\to \mathbb {K} }$都是連續的。

弱*拓撲可以更具體的定義，在${\displaystyle E^{*}}$上給出它的鄰域基：對任何${\displaystyle f\in E^{*}}$，集合

${\displaystyle U_{f}(x_{1},\ldots ,x_{n},\epsilon ):=\{g\in E^{*};|f(x_{j})-g(x_{j})|<\epsilon ,j=1,\ldots ,n\}}$

其中${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\in E,n\in {\mathbb {N} }}$，${\displaystyle \epsilon >0}$，是${\displaystyle f}$的弱*開的鄰域基。

弱*拓撲的收斂條件很簡單：序列${\displaystyle (f_{n})_{n\in {\mathbb {N} }}}$在弱*拓撲中收斂，如果對任何${\displaystyle x\in E}$都有${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)}$，即${\displaystyle f_{n}}$逐點收斂到${\displaystyle f}$。弱*收斂記作${\displaystyle f_{n}{\overset {*}{\rightharpoonup }}f}$。

弱*收斂性比依範數收斂性弱。如果${\displaystyle \|f-f_{n}\|\to 0}$，其中${\displaystyle \|\cdot \|}$是${\displaystyle E^{*}}$的範數，則${\displaystyle f_{n}}$必然逐點收斂於${\displaystyle f}$，因而有${\displaystyle f_{n}{\overset {*}{\rightharpoonup }}f}$；但是，${\displaystyle f_{n}{\overset {*}{\rightharpoonup }}f}$不一定有${\displaystyle \|f-f_{n}\|\to 0}$，甚至可能${\displaystyle \|f_{n}\|\nrightarrow \|f\|}$。

對偶空間${\displaystyle E^{*}}$加上弱*拓撲是一個局部凸空間，因此可以由給予${\displaystyle E^{*}}$一個半範數的系統定義弱*拓撲。對${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\in E,n\in {\mathbb {N} }}$，

${\displaystyle p_{x_{1},\ldots x_{n}}(f):=\max\{|f(x_{1})|,\ldots ,|f(x_{n})|\}}$,

構成這樣一個半範數的系統。

K. Floret, J. Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume, Lecture Notes in Mathematiks 56, 1968