微分算子

最常用的微分算子是取导数自身。这个算子的常用记号包括：${\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}}$、${\displaystyle D}$（在不會搞混哪个变量微分時），以及${\displaystyle D_{x}}$（指明了变量）。

一阶导数如上所示，但当取更高阶n-次导数时，下列替代性记号是有用的：${\displaystyle \mathrm {d} ^{n} \over \mathrm {d} x^{n}}$、${\displaystyle D^{n}}$、${\displaystyle D_{x}^{n}}$。

记号D的发明与使用归于奥利弗·亥维赛，他在研究微分方程中考虑了如下形式的微分算子

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}c_{k}D^{k}}$

另一个最常见的微分算子是拉普拉斯算子，定义为

${\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\partial ^{2} \over \partial x_{k}^{2}}}$

另一个微分算子是Θ算子，定义为

${\displaystyle \Theta =z{\mathrm {d} \over \mathrm {d} z}}$

有时候这也称为齐次算子，因为它的本征函数是关于z的单项式：

${\displaystyle \Theta (z^{k})=kz^{k},\quad k=0,1,2,\dots }$

在n个变量中齐次算子由

${\displaystyle \Theta =\sum _{k=1}^{n}x_{k}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}}$

给出。与单变量一样，Θ的本征空间是齐次多项式空间。

给定一个线性微分算子T

${\displaystyle Tu=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(x)D^{k}u}$，

这个算子的伴随定义为算子${\displaystyle T^{*}}$使得

${\displaystyle \langle Tu,v\rangle =\langle u,T^{*}v\rangle }$

这里记号${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$表示数量积或点积。从而此定义取决于数乘的定义。

微分是线性的，即

${\displaystyle D(f+g)=(Df)+(Dg)}$

${\displaystyle D(af)=a(Df)}$

这里f和g是函数，而a是一个常数。

任何以函数为系数之D的多项式也是一个微分算子。我们也可以通过法则

${\displaystyle (D_{1}\circ D_{2},f)=D_{1}(D_{2}(f))}$

复合微分算子。需要一些注意：首先算子D₂中的任何函数系数必须具有D₁所要求的可微次数。为了得到这样运算的一个环，我们必须假设所用的系数的所有阶导数。第二，这个环不是交换的：一个算子gD一般与Dg不同。事实上我们有例，如在量子力学中的基本关系：

${\displaystyle Dx-xD=1}$

但这些算子的子环：D的常系数多项式是交换的。它可以另一种方式刻画：它由平移不变算子组成。

微分算子也服从移位定理（）。

同样的构造可对偏导数也成立，关于不同的变量微分给出可交换的算子[註 3]。

在微分几何与代数几何中，通常习惯于对两个向量丛之间的微分算子有一个坐标无关描述。设${\displaystyle E}$与${\displaystyle F}$是流形${\displaystyle M}$上两个向量丛。截面的一个${\displaystyle \mathbb {R} }$-线性映射${\displaystyle P:\Gamma (E)\rightarrow \Gamma (F)}$称为一个k-阶微分算子，如果它分解穿过节丛${\displaystyle J^{k}(E)}$。换句话说，存在一个向量丛的线性映射

${\displaystyle i_{P}:J^{k}(E)\rightarrow F}$

使得

${\displaystyle P={\hat {i}}_{P}\circ j^{k}}$

这里${\displaystyle {\hat {i}}_{P}}$表示由${\displaystyle i_{P}}$，在截面上诱导的映射，而${\displaystyle j^{k}:\Gamma (E)\rightarrow \Gamma (J^{k}(E))}$，是典范（或通用）k-阶微分算子。

这恰好意味着对一个给定的截面${\displaystyle s}$ of ${\displaystyle E}$，${\displaystyle P(s)}$在一个点${\displaystyle x\in M}$的值完全由${\displaystyle s}$在${\displaystyle x}$的k-阶无穷小行为决定。特别地这蕴含着${\displaystyle P(s)(x)}$由${\displaystyle s}$在${\displaystyle x}$的芽决定，这说明了微分算子是局部的。一个基本的结果是皮特定理（）证明了逆命题也是正确的：任何局部算子是微分。

线性微分算子的一个等价的，但纯代数的描述如下： 一个${\displaystyle \mathbb {R} }$-线性映射${\displaystyle P}$是一个k-阶微分算子，如果对任何(k + 1)阶光滑函数${\displaystyle f_{0},\ldots ,f_{k}\in C^{\infty }(M)}$我们有

${\displaystyle [f_{k}[f_{k-1}[\cdots [f_{0},P]\cdots ]]=0}$

这里括号${\displaystyle [f,P]:\Gamma (E)\rightarrow \Gamma (F)}$定义为交换子

${\displaystyle [f,P](s)=P(f\cdot s)-f\cdot P(s)}$

线性算子的这个刻画说明，它们是一个交换代数上的模之间的一个特殊映射，使这个概念可视为交换代数的一部分。

• 在物理学的应用中，像拉普拉斯算子在建立与求解偏微分方程中起着主要的作用。

• 在微分拓扑中，外导数与李导数算子有内蕴意义。

• 在抽象代数中，导子的概念是微分算子不要求分析的一个推广。通常这样的推广用于代数几何与交换代数。另见节。

• 差分算子
• 德尔塔算子
• 分数微积分