摄动理论

许多常微分方程或偏微分方程可以表达为

${\displaystyle Dg(x)=\lambda g(x)\,\!}$；(1)

其中，${\displaystyle D\,\!}$是某特定微分算子，${\displaystyle \lambda \,\!}$是其本征值。

假设微分算子可以写为

${\displaystyle D=D^{(0)}+\epsilon D^{(1)}\,\!}$；

其中，${\displaystyle \epsilon \,\!}$是微小的度量。

又假设我们已知道${\displaystyle D^{(0)}\,\!}$的解答的完备集${\displaystyle \{f_{i}^{(0)}(x)\}\,\!}$；其中，解答${\displaystyle f_{i}^{(0)}(x)\,\!}$是${\displaystyle D^{(0)}\,\!}$的本征值为${\displaystyle \lambda _{i}^{(0)}\,\!}$的本征函数。用方程表达，

${\displaystyle D^{(0)}f_{i}^{(0)}(x)=\lambda _{i}^{(0)}f_{i}^{(0)}(x)\,\!}$。

还有，这一集合的解答${\displaystyle \{f_{i}^{(0)}(x)\}\,\!}$形成一个正交归一集：

${\displaystyle \int f_{i}^{(0)}(x)f_{j}^{(0)}(x)\,dx=\delta _{ij}\,\!}$；

其中，${\displaystyle \delta _{ij}\,\!}$是克羅內克函數。

取至零阶，完全解${\displaystyle g(x)\,\!}$应该相当接近集合里一个零微扰解。设定这零微扰解为${\displaystyle f_{n}^{(0)}(x)\,\!}$。用方程表达，

${\displaystyle g(x)=f_{n}^{(0)}(x)+{\mathcal {O}}(\epsilon )\,\!}$；

其中，${\displaystyle {\mathcal {O}}\,\!}$采用大O符號来描述函数的渐近行为。

完全解的本征值也可近似为

${\displaystyle \lambda =\lambda _{n}^{(0)}+{\mathcal {O}}(\epsilon )\,\!}$。

将完全解${\displaystyle g(x)\,\!}$写为零微扰解的线性组合，

${\displaystyle g(x)=\sum _{m}c_{m}f_{m}^{(0)}(x)\,\!}$；(2)

其中，除了${\displaystyle c_{n}\,\!}$以外，所有的常数${\displaystyle c_{m},\ m\neq n\,\!}$的值是${\displaystyle {\mathcal {O}}(\epsilon )\,\!}$；只有${\displaystyle c_{n}\,\!}$的值是${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)\,\!}$。

将公式 (2)代入公式 (1)，乘以${\displaystyle f_{n}^{(0)}(x)\,\!}$，利用正交归一性，可以得到

${\displaystyle \lambda _{n}^{(0)}c_{n}+\epsilon \sum _{m}c_{m}\int f_{n}^{(0)}(x)D^{(1)}f_{m}^{(0)}(x)\,dx=\lambda c_{n}\,\!}$。

这可以很容易地改变为一个简单的线性代数问题，一个寻找矩阵的本征值的问题：给予 ${\displaystyle \sum _{m}A_{nm}c_{m}=\lambda c_{n}\!\,\!}$，求${\displaystyle \lambda \,\!}$；其中，${\displaystyle A_{nm}\,\!}$是矩阵元素：

${\displaystyle A_{nm}=\lambda _{n}^{(0)}\delta _{nm}+\epsilon \int f_{n}^{(0)}(x)D^{(1)}f_{m}^{(0)}(x)\,dx\,\!}$。

我们并不需要解析整个矩阵。注意到线性方程裡的每一个${\displaystyle c_{m}\,\!}$都是${\displaystyle {\mathcal {O}}(\epsilon )\,\!}$；只有${\displaystyle c_{n}\,\!}$的值是${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)\,\!}$。所以，取至${\displaystyle \epsilon \,\!}$一阶，线性方程可以很容易地解析为

${\displaystyle \lambda =\lambda _{n}^{(0)}+\epsilon \int f_{n}^{(0)}(x)D^{(1)}f_{n}^{(0)}(x)\,dx\,\!}$。(3)

这就是一阶摄动理论的本征值解答。一阶本征值数修正是

${\displaystyle \lambda _{n}^{(1)}=\int f_{n}^{(0)}(x)D^{(1)}f_{n}^{(0)}(x)\,dx\,\!}$。

取至一阶，函数${\displaystyle g(x)\,\!}$可以用类似的推理求得。设定

${\displaystyle g(x)=f_{n}^{(0)}(x)+\epsilon f_{n}^{(1)}(x)\,\!}$。(4)

那麼，公式 (1)变为

${\displaystyle \left(D^{(0)}+\epsilon D^{(1)}\right)\left(f_{n}^{(0)}(x)+\epsilon f_{n}^{(1)}(x)\right)=(\lambda _{n}^{(0)}+\epsilon \lambda _{n}^{(1)})\left(f_{n}^{(0)}(x)+\epsilon f_{n}^{(1)}(x)\right)\,\!}$。

取至一阶，展开这方程。经过一番运算，可以得到

${\displaystyle D^{(1)}f_{n}^{(0)}(x)+D^{(0)}f_{n}^{(1)}(x)=\lambda _{n}^{(0)}f_{n}^{(1)}(x)+\lambda _{n}^{(1)}f_{n}^{(0)}(x)\,\!}$。(5)

由于${\displaystyle \{f_{i}^{(0)}(x)\}\,\!}$是一个完备集，${\displaystyle f_{n}^{(1)}(x)\,\!}$可以写为

${\displaystyle f_{n}^{(1)}(x)=\sum _{i\neq n}C_{i}f_{i}^{(0)}(x)\,\!}$。(6)

请注意，这方程右手边的总和表达式，并不含有${\displaystyle f_{n}^{(0)}(x)\,\!}$项目。任何${\displaystyle f_{n}^{(0)}(x)\,\!}$的贡献，可以与公式 (4)的零階項目相合并。

将公式 (6)代入公式 (5)，可以得到

${\displaystyle (D^{(1)}-\lambda _{n}^{(1)})f_{n}^{(0)}(x)=\lambda _{n}^{(0)}\sum _{i\neq n}C_{i}f_{i}^{(0)}(x)-D^{(0)}\sum _{i\neq n}C_{i}f_{i}^{(0)}(x)=\sum _{i\neq n}(\lambda _{n}^{(0)}-\lambda _{i}^{(0)})C_{i}f_{i}^{(0)}(x)\,\!}$。

将这方乘式两边都乘以${\displaystyle f_{j}^{(0)}(x)\,\!}$，再随著${\displaystyle x\,\!}$积分，利用正交归一性，可以得到

${\displaystyle \int \,f_{j}^{(0)}(x)D^{(1)}f_{n}^{(0)}(x)\,dx=\sum _{i\neq n}(\lambda _{n}^{(0)}-\lambda _{i}^{(0)})C_{i}\int \,f_{j}^{(0)}(x)f_{i}^{(0)}(x)=(\lambda _{n}^{(0)}-\lambda _{j}^{(0)})C_{j}\,\!}$。

稍加编排，改变下标${\displaystyle j\,\!}$为${\displaystyle m\,\!}$。那麼，一阶本征函数修正${\displaystyle f_{n}^{(1)}(x)\,\!}$可以写为

${\displaystyle f_{n}^{(1)}(x)=\sum _{m\neq n}{\frac {f_{m}^{(0)}(x)}{\lambda _{n}^{(0)}-\lambda _{m}^{(0)}}}\int \,f_{m}^{(0)}(y)D^{(1)}f_{n}^{(0)}(y)\,dy\,\!}$。