德拜-沃勒因子

在劳厄完成X射线衍射实验之前，学术界曾经对此实验的可行性进行过讨论。其中一种观点认为，在室温条件下，晶格中的原子由于热运动，是无法维持其在晶格中周期性排列的位置的，因此在实际的实验中不应该观测到任何的衍射峰（即布拉格峰）。[4]

然而，随后劳厄和布拉格等人的X射线衍射实验证实了布拉格峰的存在。实验中，当晶体的温度上升时，布拉格峰的强度下降，但其宽度不变。[4] 以下是德拜的描述：

对此实验现象，德拜给出了最初的理论解释。给结构因子 ${\displaystyle S(\mathbf {q} )}$ 中表示原子位置的项 ${\displaystyle \mathbf {R} _{j}}$ 加上关于时间的微扰项 ${\displaystyle \mathbf {u} (t)}$，得到修正后的原子位置为 ${\displaystyle \mathbf {R} (t)=\mathbf {R} _{j}+\mathbf {u} (t)}$。假设每个原子都相对各自的平衡位置独立地振动[注 1]，则对修正后结构因子中的 ${\displaystyle f_{j}\exp(-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {R} _{j})}$ 一项变为：

${\displaystyle f_{j}\exp(-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {R} _{j})\left\langle \exp \left(-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} \right)\right\rangle }$

修正项 ${\displaystyle \left\langle \exp \left(-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} \right)\right\rangle }$ 即为德拜-沃勒因子的最初来源。

德拜-沃勒因子的基本表达式为：

${\displaystyle {\text{DWF}}=\left\langle \exp \left(-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} \right)\right\rangle ^{2}}$

其中的 ${\displaystyle \mathbf {u} }$ 为热振动引起的位移，${\displaystyle \left\langle ...\right\rangle }$ 表示热力学平均。

${\displaystyle \left\langle \exp \left(-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} \right)\right\rangle }$ 可被展开为

${\displaystyle 1-i\left\langle \mathbf {q} \cdot \mathbf {u} \right\rangle -{\frac {1}{2}}\left\langle (\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} )^{2}\right\rangle +...}$

假设 ${\displaystyle \mathbf {u} }$ 在空间上具有各向同性，即${\displaystyle \left\langle \mathbf {q} \cdot \mathbf {u} \right\rangle =0}$，则

${\displaystyle \left\langle \exp \left(-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} \right)\right\rangle =1-{\frac {1}{2}}\left\langle (\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} )^{2}\right\rangle +...}$

注意到上式的前两项与 ${\displaystyle \exp(-{\frac {1}{2}}\left\langle (\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} )^{2}\right\rangle )}$ 展开式的前两项是一致的。因此可用 ${\displaystyle \exp(-{\frac {1}{2}}\left\langle (\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} )^{2}\right\rangle )}$ 代换${\displaystyle \left\langle \exp \left(-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} \right)\right\rangle }$，代入开头的基本表达式：

${\displaystyle {\text{DWF}}=\left\langle \exp \left(-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} \right)\right\rangle ^{2}=(\exp(-{\frac {1}{2}}\left\langle (\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} )^{2}\right\rangle ))^{2}=\exp(-\left\langle (\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} )^{2}\right\rangle )}$

即

上式即为德拜-沃勒因子在教科书中常见的定义[5][6][注 2]。值得注意的是上述推导都是在经典物理学的框架之下完成的；而在量子力学中，相同的结论依然成立。

进一步的推导[4]可得

${\displaystyle {\text{DWF}}=\exp \left(-q^{2}\langle u^{2}\rangle /3\right)}$

其中 ${\displaystyle q}$，${\displaystyle u}$ 为向量 ${\displaystyle \mathbf {q} }$，${\displaystyle \mathbf {u} }$ 的大小。${\displaystyle \langle u^{2}\rangle }$ 叫做均方位移。若入射波的波长为 ${\displaystyle \lambda }$，且被弹性散射了 ${\displaystyle 2\theta }$ 角度，可用下式计算出 ${\displaystyle q}$ 的大小：

${\displaystyle q={\frac {4\pi \sin(\theta )}{\lambda }}}$

在对蛋白质结构的研究中，“B因子（B-factor）”这个名称更为常用，其定义为

${\displaystyle B=8\pi ^{2}\langle u^{2}\rangle }$

单位为 Ų。B因子可被看作是结构中不同部分的相对振动。低B因子的原子从属于结构中良好有序（well ordered）的部分，而高B因子的原子一般属于结构中非常柔性易变（flexible）的部分。蛋白质资料库中的每一ATOM记录（PDB文件格式）都会包含某特定原子的B因子信息[7]。

• 兰姆-穆斯堡尔因子