快子電話

假設甲正坐在以速度β（<1）离开乙。两者都有以超光速α相互傳递訊號的能力。甲向乙發出一個訊號。乙收到訊號後同時向甲發出一個回應。考慮甲和乙分别靜止的两個參照系。把乙受到甲訊息此事件設為两參照系的原點。乙在${\displaystyle t=0}$向甲發回應。乙發出的回應的世界綫是：

${\displaystyle (t,x)=\left(t,\alpha t\right)}$

此世界線在甲的參照系内座標可以用勞侖茲變換得到：

${\displaystyle (t^{\prime },x^{\prime })=\left(\gamma (1-\alpha \beta )t,\gamma (\alpha -\beta )t\right)}$

快子超光速訊號的世界綫。黑座標是甲的靜止系。紅座標是乙的靜止系。時間方向向上。右邊黑線是甲的世界綫。可見快子回到甲發出訊號前。

在甲的參照系内，甲在${\displaystyle x^{\prime }=L^{\prime }}$靜止。${\displaystyle L^{\prime }}$正是乙發出訊號時甲和原點的距离，所以：

${\displaystyle t={\frac {L^{\prime }}{\gamma (\alpha -\beta )}}}$

因此

${\displaystyle t^{\prime }={\frac {1-\alpha \beta }{\alpha -\beta }}L^{\prime }}$。

留意這只是相對論速度加法公式的應用。

當初甲發出的那个訊號需時${\displaystyle {\frac {L^{\prime }}{\alpha }}}$到達乙。所以甲從發出訊號到收到回應共歷時：

${\displaystyle T^{\prime }={\frac {L^{\prime }}{\alpha }}+t^{\prime }=\left({\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1-\alpha \beta }{\alpha -\beta }}\right)L^{\prime }}$

當${\displaystyle \beta >{\frac {2\alpha }{1+\alpha ^{2}}}}$，${\displaystyle T^{\prime }<0}$。也就是甲在發出訊號之前就收到乙回信。 整個過程的世界線在右圖。

另外甲在:

${\displaystyle (t_{0}^{\prime },x_{0}^{\prime })=\left(-{\frac {L^{\prime }}{\alpha }},L^{\prime }\right)}$

給乙發訊號。在乙參照系内，此事發生在：

${\displaystyle (t_{0},x_{0})=\left(\gamma (\beta -{\frac {1}{\alpha }})L^{\prime },\gamma (1-{\frac {\beta }{\alpha }})L^{\prime }\right)}$

當${\displaystyle \beta >{\frac {1}{\alpha }}}$，${\displaystyle t_{0}>0}$。也就是乙收到的訊號來自他的未來。