懸鏈曲面

懸鏈曲面（又名懸垂曲面）是一个曲面，是將懸鏈線繞其準線旋轉而得（見右側動畫），故為一旋轉曲面。除了平面以外，懸鏈曲面也是第一個被发现的极小曲面，在1744年被萊昂哈德·歐拉发现且證明。[1]Jean Baptiste Meusnier也做了些早期的研究。[2]只有兩個曲面既為旋轉曲面又是最小曲面，即為平面與懸鏈曲面。[3] 懸鏈曲面可被以下參數式所定義：

x=c\cosh {\frac {v}{c}}\cos u

y=c\cosh {\frac {v}{c}}\sin u

z=v

懸鏈曲面

A catenoid obtained from the rotation of a catenary

將懸鏈線繞其準線旋轉而得的懸鏈曲面

其中 $u\in [-\pi ,\pi )$ ， $v\in \mathbb {R}$ 且 $c$ 為非零實數。在圓柱座標系則有：

\rho =c\cosh {\frac {z}{c}}

其中 $c$ 为实数。

理想状态下，把一对经过肥皂溶液浸泡的圆形铁环张开，就可以得到一个悬链面形状的肥皂膜。这个现象的原理是由于肥皂膜会趋向于形成在固定边界（铁环）下表面积最小的旋转曲面，根据这个原理，可以用变分法证明肥皂膜的形状是悬链面。

螺旋面變換

此動畫展示了螺旋面如何變型成懸鏈曲面

螺旋面與懸鏈曲面屬同一相關曲面，我們可以在不拉縮的情況下將懸鏈曲面扳成螺旋面。也就是說，我們可以用一個連續且等距的變換將懸鏈曲面變成螺旋面的一部份，且在變型的每一瞬間，曲面皆為极小曲面。此變換可由下列式子給出：

x(u,v)=\cos \theta \,\sinh v\,\sin u+\sin \theta \,\cosh v\,\cos u

y(u,v)=-\cos \theta \,\sinh v\,\cos u+\sin \theta \,\cosh v\,\sin u

z(u,v)=u\cos \theta +v\sin \theta \,

注意

(u,v)\in (-\pi ,\pi ]\times (-\infty ,\infty )

，且變換參數

\theta

滿足

-\pi <\theta \leq \pi

，

其中 $\theta =\pi$ 對應到右旋螺旋面， $\theta =\pm \pi /2$ 對應到懸鏈曲面， $\theta =0$ 對應到左旋螺旋面。

该等距变换可以由微分几何中的曲面第一基本形式证明。

參見

L. Euler, Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, 1744, in: Opera omnia I, 24
Meusnier, J. B. "Mémoire sur la courbure des surfaces." Mém. des savans étrangers 10 (lu 1776), 477-510, 1785
Weisstein, Eric W. (编). . at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2014-12-30]. （原始内容存档于2013-12-28）（英语）.

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[1] L. Euler, Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, 1744, in: Opera omnia I, 24

[2] Meusnier, J. B. "Mémoire sur la courbure des surfaces." Mém. des savans étrangers 10 (lu 1776), 477-510, 1785

[3] Weisstein, Eric W. (编). . at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2014-12-30]. （原始内容存档于2013-12-28）（英语）.