戴德金整環

戴德金整環指的是有乘法單位元素 ${\displaystyle 1}$，並具備下述性質的交換諾特整環 ${\displaystyle A}$：

1. ${\displaystyle A}$ 不是域。
2. ${\displaystyle A}$ 的非零素理想皆為極大理想。
3. ${\displaystyle A}$ 整閉。

前兩條可合併為：${\displaystyle A}$ 之克魯爾維度等於一。另一種表述方式如下：

1. ${\displaystyle A}$ 對任意極大理想之局部化為離散賦值環。
2. ${\displaystyle A}$ 的非零理想皆可逆。換言之：對任意理想 ${\displaystyle 0\neq I\subset A}$，存在 ${\displaystyle A}$ 的分式環 ${\displaystyle K(A)}$ 中的有限生成 ${\displaystyle A}$-子模 ${\displaystyle J}$，使得 ${\displaystyle I\cdot J=A}$。

• 主理想環與域上的多項式環皆為戴德金整環。
• 交換代數的一條定理斷言：若 ${\displaystyle A}$ 是戴德金整環，${\displaystyle K=K(A)}$ 為其分式域，${\displaystyle L/K}$ 是有限擴張，則 ${\displaystyle A}$ 在 ${\displaystyle L}$ 中的整閉包也是戴德金整環。
• ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 是最基本的例子，再配合前述定理，可知數域中的代數整數環皆為戴德金整環。這是戴德金整環在代數數論中的主要應用，也是戴德金引介此概念的原始動機。

戴德金整環的分式理想定義為分式環 ${\displaystyle K(A)}$ 中形如 ${\displaystyle aI}$ 之 ${\displaystyle A}$-子模，其中 ${\displaystyle a\in K(A)^{\times }}$ 而 ${\displaystyle I}$ 是 ${\displaystyle A}$ 中的理想。分式理想之間可以定義乘法 ${\displaystyle aI\cdot bJ=abJ}$，因而非零分式理想構成一個，其單位元素為 ${\displaystyle A}$。戴德金整環的性質保證此結構是一個群，換言之，任何非零分式理想皆可逆。

若一理想 ${\displaystyle I}$ 可由某元素 ${\displaystyle a\in A}$ 生成，則稱之主理想；可採類似辦法定義主分式理想。

此外，戴德金整環中的分式理想有唯一分解性：任意分式理想 ${\displaystyle I}$ 可唯一地表成

${\displaystyle I=\prod _{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}^{r_{\mathfrak {p}}}}$

其中 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ 過有限個 ${\displaystyle A}$ 的素理想，${\displaystyle r_{\mathfrak {p}}\in \mathbb {Z} }$。${\displaystyle I}$ 是理想若且唯若 ${\displaystyle \forall {\mathfrak {p}}\;r_{\mathfrak {p}}\geq 0}$。

在一般的數域 ${\displaystyle K}$ 上，代數整數未必能唯一地表成素數的乘積，但可唯一表成素理想的乘積。在所有理想中，僅有主理想對應到「真正」的代數整數。此時重要的不變量是理想類群與類數，它們量度了理想與主理想的差距：

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{K}:=}$ (分式理想)/(主分式理想)

${\displaystyle h_{K}:=|\mathrm {Cl} _{K}|}$

可證明理想類群總是有限交換群。

• Bourbaki, Nicolas (1972), Commutative Algebra, Addison-Wesley