諾特環

一個環${\displaystyle A}$稱作諾特環，若且唯若對每個由${\displaystyle A}$的理想構成的升鏈${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{1}\subset {\mathfrak {a}}_{2}\subset \ldots ,\subset {\mathfrak {a}}_{n}\subset \ldots }$，必存在${\displaystyle N\subset \mathbb {N} }$，使得對所有的${\displaystyle n,m\geq N}$都有${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{n}={\mathfrak {a}}_{m}}$（換言之，此升鏈將會固定）。

另外一種等價的定義是：${\displaystyle A}$的每個理想都是有限生成的。

將上述定義中的理想代換為左理想或右理想，可以類似地定義左諾特環與右諾特環。${\displaystyle A}$是左（右）諾特環若且唯若${\displaystyle A}$在自己的左乘法下形成一個左（右）諾特模。對於交換環則無須分別左右。

• 若${\displaystyle A_{1},A_{2}}$是諾特環，則其直積${\displaystyle A_{1}\times A_{2}}$亦然。
• 若${\displaystyle A}$是諾特環，${\displaystyle I\subset A}$是任一理想，則其商環${\displaystyle A/I}$亦然。
• 若${\displaystyle A}$是諾特環，則其上的多項式環${\displaystyle A[X]}$及冪級數環${\displaystyle A[[X]]}$都是諾特環。
• 若${\displaystyle A}$是交換諾特環，則其對任一積性子集${\displaystyle S}$的局部化也是諾特環。
• 若${\displaystyle A}$是交換環，${\displaystyle {\mathfrak {q}}\subset A}$為一有限生成理想，且${\displaystyle A/{\mathfrak {q}}}$是諾特環，則其完備化${\displaystyle {\widehat {A}}=\lim _{n}A/{\mathfrak {q}}^{n}}$也是諾特環。
• 一個左（右）阿廷環必定是左（右）諾特環。

• 整數環${\displaystyle \mathbb {Z} }$是諾特環。
• 對任意的域${\displaystyle k}$，多項式環${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$及其商是諾特環。這是代數幾何中最常見的情形。

以下是非諾特環的例子：

• 考慮有可數個變元的多項式環${\displaystyle k[X_{1},X_{2},\ldots ]}$，並考慮升鏈${\displaystyle (X_{1})\subset (X_{1},X_{2})\subset \cdots \subset (X_{1},\ldots ,X_{n})\subset \cdots }$，此升鏈不會固定。
• 考慮${\displaystyle \mathbb {R} }$上的全體連續函數，它們在逐點作乘法下構成一個環。考慮升鏈${\displaystyle I_{n}:=\{f:x\geq n\Rightarrow f(x)=0\}}$，此升鏈不會固定。

• 埃雷斯曼联络
• 仿射联络
• 曲率形式

• Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X