戶田定理

第一部分的證明基於瓦里安特-瓦兹拉尼定理。該定理指出如果唯一SAT(Unique-SAT，或USAT)問題（亦即，僅在一個布爾表達式沒有令其為真的賦值，和在有一個唯一的賦值之間做出判定，而對於有一個以上真賦值的布爾表達式可做任何輸出）有一個多項式的隨機化算法，則${\displaystyle NP=RP}$（參見：RP (複雜度)）。事實上，該定理給出了這樣一個判定USAT問題的隨機算法。

雖然我們尚不知如何提高Unique-SAT問題的隨機算法的準確性，但對於USAT問題的Parity（奇偶性）版本${\displaystyle \oplus SAT}$（亦即，將前述問題中的“唯一賦值”改為“奇數個賦值”），我們可以通過重複執行隨機算法以提高算法準確性。由此，我們可以通過對多項式譜系的深度採用數學歸納法，得到一個${\displaystyle PH\subseteq BPP^{\oplus P}}$的證明（參見：BPP）。注意這個證明實際上給出一個映射${\displaystyle F_{r}}$（對於每個隨機數取值${\displaystyle r}$，存在一個映射${\displaystyle F_{r}}$），將每個值為真的多項式譜系實例${\displaystyle \phi }$映射到一個${\displaystyle \oplus SAT}$的實例${\displaystyle F_{r}(\phi )}$（亦即，一個有著奇數個真賦值的布爾表達式），而將每個非真的實例映射到一個有偶數個（不一定為0個）真賦值的布爾表達式。

證明的第二部分（去隨機化）將每個${\displaystyle BPP^{\oplus P}}$的實例映射到一個${\displaystyle \#SAT}$問題。具體而言，去隨機化過程${\displaystyle T}$將每個${\displaystyle \oplus SAT}$問題的實例${\displaystyle \psi }$映射到另一個布爾表達式${\displaystyle T(\psi )}$，其真賦值個數（用${\displaystyle \#T(\psi )}$表示）模一個大數${\displaystyle R}$餘${\displaystyle -1}$；另一方面，每個不屬於${\displaystyle \oplus SAT}$的布爾表達式${\displaystyle \psi '}$則被映射到一個表達式${\displaystyle T(\psi ')}$，其真賦值個數${\displaystyle \#T(\psi ')}$模同一個大數${\displaystyle R}$餘${\displaystyle 0}$。

這樣，給定一個多項式譜系內的實例${\displaystyle \phi }$，我們可以求以下表達式：

${\displaystyle S(\phi )=\displaystyle \sum _{r}\#T(F_{r}(\phi )).}$

在${\displaystyle \phi }$本身為真的時候，大多數（例如，多於3/4）的${\displaystyle F_{r}}$實例會返回${\displaystyle \oplus SAT}$的實例，因此${\displaystyle \#T(F_{r}(\phi ))}$會得到${\displaystyle -1}$ (模${\displaystyle R}$）；同理，在${\displaystyle \phi }$為假的時候，大多數的${\displaystyle \#T(F_{r}(\phi ))}$會得到${\displaystyle 0}$。因此，在求模的大數${\displaystyle R}$足夠大時，這兩個情況（${\displaystyle \phi }$為真和為假）所對應的${\displaystyle S(\phi )}$的取值區間是不重合的。如果我們能求解${\displaystyle S(\phi )}$，則我們可以立即判定任何多項式譜系內的${\displaystyle \phi }$是否為真。

但是，注意到上述${\displaystyle S}$的表達式的子項數事實上達到了指數級（因為${\displaystyle r}$的長度可以是輸入長度的多項式），因此直接求和是不可行的。

一個解決方法是注意到${\displaystyle T(F_{r}(\phi ))}$實際上是一個SAT表達式，因此可以考慮下面的SAT問題${\displaystyle Q(\phi )}$：“求${\displaystyle (r,x)}$使得${\displaystyle T(F_{r}(\phi ))(x)}$為真”。注意${\displaystyle Q(\phi )}$的真賦值個數等於${\displaystyle S(\phi )}$。因此，如果我們能在多項式時間內求解一個#SAT問題（也就${\displaystyle \#Q(\phi )}$），我們就可以判定${\displaystyle \phi }$，所以${\displaystyle PH}$是${\displaystyle P^{\#P}}$的一個子集。