扭棱四面體

**扭棱四面體**
類別	凸多面體
對偶多面體	五角十二面體
數學表示法
考克斯特符號;	(五角十二面體對稱) ; (四面體對稱)
性質
面	20
邊	30
頂點	12
歐拉特徵數	F=20, E=30, V=12 （χ=2）
組成與佈局
面的種類	8個正三角形; 12個等腰三角形
對稱性
對稱群	Th, [4,3+], (3*2), order 24
旋轉對稱群;	Td, [3,3]+, (332), order 12
特性
	凸
圖像
; 五角十二面體; （對偶多面體）	; （展開圖）

在幾何學中，扭棱四面體是指正四面體經過扭棱變換後所形成的多面體。其拓樸結構與正二十面體等價。一般會將這種立體的面分為3組，一組是原始四面體的面，另一組是來自原像之頂點圖的面，另一組是扭棱變換過程中所形成的面。若兩組面構成的三角形不全等，其結果立體將會變成一個外觀與正二十面體非常相似，但不相同的立體，因此又稱偽正二十面體[1]，其具備五角十二面體（黃鐵礦晶型）對稱性[2]。部分文獻將這種立體稱為扭棱八面體（snub octahedron）[3]、扭棱截半四面體（或扭棱四-四面體，snub tetratetrahedron）[4]。部分礦石的晶體結構會結晶成這種形狀。[5]

這個立體是五角十二面體的對偶多面體。[6]

性質

扭棱四面體是一種二十面體，由20個三角形組成。扭棱四面體可以視為四面體經過扭棱變換所形成的立體，在扭稜的過程中會形成3種面，一種是原始四面體的面、另一種是來自原像頂點圖的面、還有一種是扭棱變換過程中所形成的面。若這三種面皆全等，整個立體將與正二十面體無異。[7][8]

四面體扭棱成扭棱四面體的過程，其中藍色的面代表原始四面體的面；紅色的面代表來自原像頂點圖的面；白色的面代表扭棱變換過程中所形成的面

拓樸結構

扭棱四面體的拓樸結構與正二十面體等價[5]。若將四面體扭棱過程中所形成的面兩兩合併為1個菱形，則其拓樸結構與截半立方體相同。[4]

頂點座標

這種立體的頂點座標可以用 $(\pm 2,\pm 1,0)$ 的循環排列來構造，這個頂點排構建方式又可視為是交錯截角的截角八面體，其與耶森二十面體相同，但頂點間相連方式不同[9]。而若取 $(\pm \varphi ,\pm 1,0)$ 則會變為正二十面體，其中 $\varphi$ 為黃金比例。[1]

耶森二十面體

耶森二十面體是一個與扭棱四面體相同頂點排列方式的立體，但耶森二十面體頂點間的相連方式與扭棱四面體不同。耶森二十面體是非凸多面體，並具有直角的二面角。[10]

對偶多面體

五角十二面體

這種立體因為外觀與正二十面體十分類似，但不是正多面體因此又被稱為偽正二十面體。其對偶多面體也非常類似正二十面體的對偶多面體——正十二面體，然而其也不是正多面體。這種立體的對偶多面體為五角十二面體，是一種由12個不等邊五邊形組成的十二面體，具有四面體群對稱性。其與正十二面體類似，皆是由12個全等的五邊形組成，且每個頂點都是3個五邊形的公共頂點[11]，但由於其面不是正多邊形，其頂點的排佈未能達到五摺對稱性，因此不屬於正多面體。部分的化學物質或礦石[12]其晶體形狀是這種形狀，例如黄铁矿和部分的天然氣水合物[13]。其英文名稱Pyritohedron是來自黄铁矿的英文pyrite以及多面體的字尾-hedron命名的。[14]

參見

參考文獻

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外部連結

扭棱四面體的各種變體（页面存档备份，存于）

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[stonetrust_Pyrite-14] . stonetrust. [2019-11-04]. （原始内容存档于2019-02-23）.

原像	正四面體	立方體	正八面體	正十二面體	正二十面體
扭稜	扭棱四面體 sr{3,3}
扭稜	扭棱四面體 sr{3,3}	扭棱立方体 sr{4,3}	扭棱八面體 sr{3,4}	扭棱十二面体 sr{5,3}	扭棱二十面体 sr{3,5}
完全扭稜	完全扭稜四面體 β{3,3}	完全扭稜立方體 β{4,3}	二複合二十面體 β{3,4}	完全扭稜十二面體 β{5,3}	完全扭稜二十面體 β{3,5}