拉開

以下僅考慮複數域 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 上的情形，一般構造準此可知。

令 ${\displaystyle Z}$ 為複仿射空間 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ 的原點，仿射空間的元素以坐標表為 ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$。令 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$ 為 ${\displaystyle (n-1)}$-維複射影空間，其元素以齊次坐標表示為 ${\displaystyle (y_{1}:\ldots :y_{n})}$。 令 ${\displaystyle {\tilde {\mathbb {C} ^{n}}}}$ 為 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {P} ^{n-1}}$ 中由等式 ${\displaystyle x_{i}y_{j}=x_{j}y_{i}}$ 定義之閉子集，其中 ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,n}$。則投影態射

${\displaystyle \pi$ :\mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {P} ^{n-1}\to \mathbb {C} ^{n}}

自然地導出態射（特別也是全純函數）

${\displaystyle \pi$ :{\tilde {\mathbb {C} ^{n}}}\to \mathbb {C} ^{n}.}

此態射 ${\displaystyle \pi }$（或者更常指空間 ${\displaystyle {\tilde {\mathbb {C} ^{n}}}}$）稱為 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ 的拉開。

例外除數 ${\displaystyle E}$ 定義為 ${\displaystyle Z}$ 對態射 ${\displaystyle \pi }$ 的逆像。可以證明

${\displaystyle E=Z\times \mathbb {P} ^{n-1}\subseteq \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {P} ^{n-1}}$

同構於射影空間。它是個非負除數，而且在 ${\displaystyle E}$ 之外 ${\displaystyle \pi$ :{\tilde {\mathbb {C} ^{n}}}\setminus E\rightarrow \mathbb {C} ^{n}\setminus Z} 是同構。因此 ${\displaystyle \pi }$ 是 ${\displaystyle {\tilde {\mathbb {C} ^{n}}}}$ 與 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ 之同構。

一般來說，我們可以開任何餘維為 ${\displaystyle k}$ 的複子流形 ${\displaystyle Z\subset \mathbb {C} ^{n}}$。設 ${\displaystyle Z}$ 由方程式 ${\displaystyle x_{1}=\cdots =x_{k}=0}$定義，並設 ${\displaystyle (y_{1}:\ldots :y_{k})}$ 為 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{k-1}}$ 上的齊次坐標。沿 ${\displaystyle Z}$ 的拉開 ${\displaystyle {\tilde {\mathbb {C} ^{n}}}}$ 定義為方程 ${\displaystyle x_{i}y_{j}=x_{j}y_{i}}$（對所有 ${\displaystyle i,j}$ ）在空間 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {P} ^{k-1}}$ 中定義的閉子集。

進一步推廣，我們可拉開任何複流形 ${\displaystyle X}$ 的任一複子流形 ${\displaystyle Z}$，方式是局部上化約到上述情形，拉開後再予以黏合。效果依然，我們將 ${\displaystyle Z}$ 拉開為例外除子 ${\displaystyle E}$。而拉開態射

${\displaystyle \pi$ :{\tilde {X}}\to X}

依然是雙有理的，並在 ${\displaystyle E}$ 外是同構。 ${\displaystyle E}$ 可自然地視作 ${\displaystyle Z}$ 的法叢的射影化，因此 ${\displaystyle \pi |_{E}:E\to Z}$ 局部上是纖維化映射，其纖維為 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{k-1}}$。

由於 ${\displaystyle E}$ 是平滑除子，其法叢為線叢。對於曲面的情形，可證明 ${\displaystyle E}$ 的自相交數為負，這表明其法叢沒有整體上定義的截面。${\displaystyle E}$ 是其同調類在 ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ 上的唯一代表，原因在於：假設 ${\displaystyle E}$ 經擾動後變為代表同一同調類的另一個複子流形，則它和 ${\displaystyle E}$ 的相交數必為正，故矛盾。這是例外除子之所以「例外」之故。

設 ${\displaystyle V}$ 維某個 ${\displaystyle X}$ 中不等於 ${\displaystyle Z}$ 的複子流形。若 ${\displaystyle V}$ 不交 ${\displaystyle Z}$，則它本質上不受沿 ${\displaystyle Z}$ 的拉開影響。然而若有相交，則 ${\displaystyle V}$ 在 ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ 中導出兩個幾何對象：一者是真變換或稱嚴格變換，它是 ${\displaystyle \pi ^{-1}(V\setminus Z)}$ 在 ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ 中的閉包，其法叢一般與 ${\displaystyle V}$ 的不同。另一者是全變換，包含 ${\displaystyle E}$ 的全體或一部分，其同調類基本上是 ${\displaystyle V}$ 的上同調類之拉回。

拉開可以在一般的概形上定義。令 ${\displaystyle X}$ 為一概形，並設 ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ 為其上一凝聚理想層，${\displaystyle X}$ 沿 ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ 的拉開是概形 ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ 及真態射

${\displaystyle \pi$ :{\tilde {X}}\rightarrow X}

使得 ${\displaystyle \pi ^{-1}{\mathcal {I}}\cdot {\mathcal {O}}_{Y}}$ 是可逆層，此拉開由下述泛性質刻劃：

對任何態射 ${\displaystyle f:Y\rightarrow X}$，若它使得 ${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {I}}\cdot {\mathcal {O}}_{Y}}$ 是可逆層，則 ${\displaystyle f}$ 唯一地透過 ${\displaystyle \pi }$ 分解。

此拉開可具體地由

${\displaystyle {\tilde {X}}=\mathbf {Proj} (\oplus _{n=0}^{\infty }{\mathcal {I}}^{n})}$

構造。當 ${\displaystyle X}$ 是擬射影概形時，${\displaystyle \pi }$ 將是射影態射。

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