辛流形

令${\displaystyle \{v_{1},\ldots ,v_{2n}\}}$为${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$的基，在其上定义辛形式ω：

${\displaystyle \omega (v_{i},v_{j})={\begin{cases}1&j-i=n{\text{ with }}1\leqslant i\leqslant n\\-1&i-j=n{\text{ with }}1\leqslant j\leqslant n\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

这样，辛形式简化为二次型。用${\displaystyle I_{n}}$表示n阶单位矩阵，则二次型矩阵Ω将由2n阶方阵给出：

${\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{pmatrix}}.}$

令Q为n维光滑流形，则余切丛${\displaystyle T^{*}Q}$的总空间具有自然辛形式，称作庞加莱2形式，或正规辛形式

${\displaystyle \omega =\sum _{i=1}^{n}dp_{i}\wedge dq^{i}}$

其中${\displaystyle (q^{1},\ldots ,q^{n})}$是Q上的任意局部坐标，${\displaystyle (p_{1},\ldots ,p_{n})}$是关于切向量${\displaystyle dq^{1},\ldots ,dq^{n}}$的纤维坐标。余切丛是经典力学的自然相空间。区分上下索引的关键在于流形有没有度量张量，黎曼流形就是这种情况。上下索引在坐标系变换下进行反变与协变变换。“关于切向量的纤维坐标”是说，动量${\displaystyle p_{i}}$与速度${\displaystyle dq^{i}}$“焊接”在一起，表达了速度与动量共线的概念，并相差标量因子。

凯勒流形是具有相容可积复结构的辛流形，构成一类特殊的复流形，复代数几何中有一大类例子。光滑复射影簇${\displaystyle V\subset \mathbb {CP} ^{n}}$都有辛形式，是射影空间${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$上的富比尼–施图迪形式的限制。

具有与${\displaystyle \omega }$相容的殆复结构的黎曼流形称作殆复流形，推广了凯勒流形，因为其不一定可积。也就是说，它们不一定来自流形上的复结构。

令${\displaystyle \mathbb {R} _{{\textbf {x}},{\textbf {y}}}^{2n}}$有全局坐标${\displaystyle (x_{1},\dotsc ,x_{n},y_{1},\dotsc ,y_{n})}$，则可将${\displaystyle \mathbb {R} _{{\textbf {x}},{\textbf {y}}}^{2n}}$赋以规范辛形式

${\displaystyle \omega =\mathrm {d} x_{1}\wedge \mathrm {d} y_{1}+\dotsb +\mathrm {d} x_{n}\wedge \mathrm {d} y_{n}.}$

有${\displaystyle \mathbb {R} _{\mathbf {x} }^{n}\to \mathbb {R} _{\mathbf {x} ,\mathbf {y} }^{2n}}$给出的标准拉格朗日子流形。形式${\displaystyle \omega }$在${\displaystyle \mathbb {R} _{\mathbf {x} }^{n}}$为零，因为给定任一对切向量${\displaystyle X=f_{i}({\textbf {x}})\partial _{x_{i}},Y=g_{i}({\textbf {x}})\partial _{x_{i}},}$都有${\displaystyle \omega (X,Y)=0.}$考虑${\displaystyle n=1}$情形，则${\displaystyle X=f(x)\partial _{x},\ Y=g(x)\partial _{x},\ \omega =\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}$。注意，把它展开时

${\displaystyle \omega (X,Y)=\omega (f(x)\partial _{x},g(x)\partial _{x})={\frac {1}{2}}f(x)g(x)(\mathrm {d} x(\partial _{x})\mathrm {d} y(\partial _{x})-\mathrm {d} y(\partial _{x})\mathrm {d} x(\partial _{x}))}$

项都有因子${\displaystyle \mathrm {d} y(\partial _{x})}$，由定义等于0。

流形的余切丛局部建模在与第一例类似的空间上。可以证明，我们可以粘合这些仿射辛形式，因此该丛形成了辛流形。拉格朗日子流形的一个不太平凡的例子是流形余切丛的零截面。例如，令

${\displaystyle X=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y^{2}-x=0\}.}$

然后可以把${\displaystyle T^{*}X}$表为

${\displaystyle T^{*}X=\{(x,y,\mathrm {d} x,\mathrm {d} y)\in \mathbb {R} ^{4}:y^{2}-x=0,2y\mathrm {d} y-\mathrm {d} x=0\}}$

其中我们将符号${\displaystyle \mathrm {d} x,\mathrm {d} y}$视作${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}=T^{*}\mathbb {R} ^{2}}$的坐标。可以考虑坐标${\displaystyle \mathrm {d} x=0}$、${\displaystyle \mathrm {d} y=0}$的子集，从而得到零截面。这个例子可重复用于由光滑函数${\displaystyle f_{1},\dotsc ,f_{k}}$及其微分${\displaystyle \mathrm {d} f_{1},\dotsc ,df_{k}}$的零轨迹（vanishing locus）定义的流形。

考虑坐标为${\displaystyle (q_{1},\dotsc ,q_{n},p_{1},\dotsc ,p_{n})}$的规范空间${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$。${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$的参数子流形是由坐标${\displaystyle (u_{1},\dotsc ,u_{n})}$参数化的曲面，使

${\displaystyle q_{i}=q_{i}(u_{1},\dotsc ,u_{n})\quad p_{i}=p_{i}(u_{1},\dotsc ,u_{n})}$

若拉格朗日括号${\displaystyle [u_{i},\ u_{j}],\ \forall i,\ j}$都为零，则是拉格朗日子流形。即，是拉格朗日子流形的等价条件是

${\displaystyle \forall i,\ j,\ [u_{i},\ u_{j}]=\sum _{k}{\frac {\partial q_{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial p_{k}}{\partial u_{j}}}-{\frac {\partial p_{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial q_{k}}{\partial u_{j}}}=0}$

这可以通过在拉格朗日子流形L的条件中展开

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial u_{i}}}={\frac {\partial q_{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial }{\partial q_{k}}}+{\frac {\partial p_{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial }{\partial p_{k}}}}$

来看到。即，辛形式在切流形${\displaystyle TL}$（所有切向量）上必须为零：

${\displaystyle \forall i,\ j,\ \omega \left({\frac {\partial }{\partial u_{i}}},{\frac {\partial }{\partial u_{j}}}\right)=0}$

利用${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$上的规范辛形式简化结果：

${\displaystyle \omega \left({\frac {\partial }{\partial q_{k}}},{\frac {\partial }{\partial p_{k}}}\right)=-\omega \left({\frac {\partial }{\partial p_{k}}},{\frac {\partial }{\partial q_{k}}}\right)=1}$

而其他的都为零。

由于辛流形上的局部坐标图具有规范形式，此例表明拉格朗日子流形相对来说不受约束。辛流形的分类由弗洛尔同调完成，这是莫尔斯理论在拉格朗日子流形间的映射的作用泛函中的应用。物理学中，作用量描述了物理系统的时间演化；这里，它可视作对膜动力的描述。

另一类有用的拉格朗日子流形出现于莫尔斯理论。给定莫尔斯函数${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$，且对足够小的${\displaystyle \varepsilon }$，可以构造拉格朗日子流形，其由零轨迹${\displaystyle \mathbb {V} (\varepsilon \cdot \mathrm {d} f)\subset T^{*}M}$给出。对一般莫尔斯函数，有拉格朗日交，由${\displaystyle M\cap \mathbb {V} (\varepsilon \cdot \mathrm {d} f)={\text{Crit}}(f)}$给出。

凯勒流形或卡拉比-丘流形的情形下，可以在M上选择${\displaystyle \Omega =\Omega _{1}+\mathrm {i} \Omega _{2}}$作为全纯n形式，其中${\displaystyle \Omega _{1}}$是实部，${\displaystyle \Omega _{2}}$是虚部。若对拉格朗日子流形L的${\displaystyle \Omega _{2}}$为零，则L是特殊的。也就是说，限制在L上实部${\displaystyle \Omega _{1}}$的条件引导了L上的体积形式。以下例子称作特殊拉格朗日子流形：

1. 超凯勒流形的复拉格朗日子流形
2. 卡拉比-丘流形的实结构的定点

SYZ猜想涉及镜像对称中特殊拉格朗日子流形的研究，见（Hitchin 1999）。

托马斯-丘猜想预言，在拉格朗日量的哈密顿迷向类中的卡拉比-丘流形上存在特殊拉格朗日子流形，这等价于流形的深谷范畴上的布里奇兰稳定性条件。

有一个标准“局部”模型，也就是${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$，其中${\displaystyle \forall i=0,\ldots ,\ n-1,\ j,\ k=0,\ldots ,\ 2n-1(k\neq j+n,\ j\neq k+n),\ \omega _{i,\ n+i}=1;\ \omega _{n+i,\ i}=-1;\ \omega _{j,\ k}=0}$。这是一个线性辛空间的例子。参看辛向量空间。一个称为达布定理的命题表明局部来看每个辛流形都和这个简单的辛流形相似。

辛流形M的拉格朗日纤维是指所有纤维都是拉格朗日子流形的纤维。由于M是偶数维，所以可取局部坐标${\displaystyle (p_{1},\ \ldots ,\ p_{n},\ q^{1},\ \ldots ,\ q^{n})}$，由达布定理，辛形式ω（至少局部地）可以写成${\displaystyle \omega =\sum {\rm {d}}p_{k}\wedge {\rm {d}}q^{k}}$，其中d表示外微分，∧表示外积。这种形式称作庞加莱2形式或规范2形式。利用这种设置，我们可以局部地将M看成余切丛${\displaystyle T^{*}\mathbb {R} ^{n}}$，拉格朗日纤维则是平凡纤维${\displaystyle \pi :T^{*}\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}.}$这便是规范图像。