拋物線座標系

直角坐標 ${\displaystyle (x,\ y)}$ 可以用二維拋物線坐標 ${\displaystyle (\sigma ,\ \tau )}$ 表示為

${\displaystyle x=\pm \,\sigma \tau }$ 、

${\displaystyle y={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)}$ ；

其中，${\displaystyle \sigma \geq 0}$ ，${\displaystyle \tau \geq 0}$ 。

反算回來，二維拋物線坐標 ${\displaystyle (\sigma ,\ \tau )}$ 可以用直角坐標 ${\displaystyle (x,\ y)}$ 表示為

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {-y+{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}}$ 、

${\displaystyle \tau ={\sqrt {y+{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}}$ 。

坐標 ${\displaystyle \sigma }$ 為常數的曲線形成共焦的，凹性向上的（往 +y-軸）拋物線：

${\displaystyle 2y={\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}}$ ，

而坐標 ${\displaystyle \tau }$ 為常數的曲線形成共焦的，凹性向下的（往 -y-軸）拋物線：

${\displaystyle 2y=-{\frac {x^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}}$ 。

這些拋物線的焦點的位置都在原點。

拋物線坐標 ${\displaystyle (\sigma ,\ \tau )}$ 的標度因子相等：

${\displaystyle h_{\sigma }=h_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}$ 。

因此，面積的無窮小元素是

${\displaystyle dA=\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)d\sigma d\tau }$ 。

拉普拉斯算子是

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right)}$ 。

其它微分算子，像 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ ， ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ ，都可以用 ${\displaystyle (\sigma ,\ \tau )}$ 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內的一般公式。

三維拋物線坐標的坐標曲面。紅色的拋物曲面的坐標 ${\displaystyle \tau =2}$ 。藍色的拋物曲面的坐標 ${\displaystyle \sigma =1}$ 。黃色的半平面的坐標 ${\displaystyle \phi =-60^{\circ }}$ 。三個面相交於點 ${\displaystyle \mathbf {P} =(1.0,-1.732,1.5)}$ （以黑色小球表示）。

將二維的拋物線坐標系繞著拋物線的對稱軸旋轉，則可以得到三維的拋物線坐標系，又稱為旋轉拋物線坐標系。將對稱軸與 z-軸排列成同直線；而拋物線坐標系的共焦點與直角坐標系的原點同地點。直角坐標 ${\displaystyle (x,\ y,\ z)}$ 可以用三維拋物線坐標 ${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )}$ 表示為

${\displaystyle x=\sigma \tau \cos \phi }$ 、

${\displaystyle y=\sigma \tau \sin \phi }$ 、

${\displaystyle z={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)}$ ；

其中，${\displaystyle \sigma \geq 0}$ ，${\displaystyle \tau \geq 0}$ ，方位角 ${\displaystyle \phi }$ 定義為

${\displaystyle \tan \phi ={\frac {y}{x}},\qquad 0\leq \phi \leq 2\pi }$ 。

反算回來，三維拋物線坐標 ${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )}$ 可以用直角坐標 ${\displaystyle (x,\ y,\ z)}$ 表示為

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {-z+{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}}}$ 、

${\displaystyle \tau ={\sqrt {z+{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}}}$ 、

${\displaystyle \phi =\tan ^{-1}{\frac {y}{x}}}$ 。

每一個 ${\displaystyle \sigma }$-坐標曲面都是共焦的，凹性向上的（往 +z-軸）拋物曲面：

${\displaystyle 2z={\frac {x^{2}+y^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}}$ ，

而每一個 ${\displaystyle \tau }$>-坐標曲面都是共焦的，凹性向下的（往 -z-軸）拋物曲面：

${\displaystyle 2z=-{\frac {x^{2}+y^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}}$ 。

這些拋物曲面的焦點的位置都在原點。

三維標度因子為：

${\displaystyle h_{\sigma }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}$ 、

${\displaystyle h_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}$ 、

${\displaystyle h_{\phi }=\sigma \tau \,}$ 。

我們可以觀察出，標度因子 ${\displaystyle h_{\sigma }}$ ， ${\displaystyle h_{\tau }}$ 與二維標度因子相同。因此，體積的無窮小元素是

${\displaystyle dV=h_{\sigma }h_{\tau }h_{\phi }=\sigma \tau \left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)\,d\sigma \,d\tau \,d\phi }$ 。

拉普拉斯算子是

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left[{\frac {1}{\sigma }}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left(\sigma {\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\frac {1}{\tau }}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left(\tau {\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right]+{\frac {1}{\sigma ^{2}\tau ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}}$ 。

其它微分算子，像 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ ， ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ ，都可以用 ${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )}$ 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系 條目內的一般公式。

另外還有一種拋物線坐標系的表述，專門用於哈密頓-亞可比方程式。假若使用此種表述的公式，則哈密頓-亞可比方程式可以很容易的分解出來。應用此方法，可以導引出拉普拉斯-龍格-冷次向量的恆定性．

採用下述從拋物線坐標變換至直角坐標的公式：

${\displaystyle \eta ={-z+{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}}$ 、

${\displaystyle \xi ={z+{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}}$ 、

${\displaystyle \phi =\arctan {y \over x}}$ 。

假若 ${\displaystyle \phi =0}$ ，則可得到一片截面；其坐標被限制於 ${\displaystyle x\geq 0}$ 的 +xz-半平面：

${\displaystyle \eta =-z+{\sqrt {x^{2}+z^{2}}}}$ 、

${\displaystyle \xi =z+{\sqrt {x^{2}+z^{2}}}}$ 。

假若包含於一條曲線的每一點的坐標 ${\displaystyle \eta }$ 是一個常數，${\displaystyle \eta =c}$ ，則

${\displaystyle \left.z\right|_{\eta =c}={x^{2} \over 2c}-{c \over 2}}$ 。

這是一個共焦點在原點的拋物線；對稱軸與 z-軸同軸；凹性向上。

假若包含於一條曲線的每一點的坐標 ${\displaystyle \xi }$ 是一個常數，${\displaystyle \xi =b}$ ，則

${\displaystyle \left.z\right|_{\xi =b}={b \over 2}-{x^{2} \over 2b}}$ 。

這也是一個共焦點在原點的拋物線；對稱軸與 z-軸同軸；凹性向下。

思考任何一條向上的拋物線 ${\displaystyle \eta =c}$ 與任何一條向下的拋物線 ${\displaystyle \xi =b}$ ，我們想要求得兩條曲線的相交點：

${\displaystyle {x^{2} \over 2c}-{c \over 2}={b \over 2}-{x^{2} \over 2b}}$ 。

稍微計算，可得

${\displaystyle x={\sqrt {bc}}}$ 。

將相交點的横坐標 ${\displaystyle x}$ 代入向上的拋物線的公式，

${\displaystyle z_{c}={bc \over 2c}-{c \over 2}={b-c \over 2}}$ 。

所以，相交點 P 坐標為 ${\displaystyle \left({\sqrt {bc}},\ {b-c \over 2}\right)}$ 。

思考正切這兩條拋物線於點 P 的一對切線。向上的拋物線的切線的斜率為

${\displaystyle {\frac {dz_{c}}{dx}}={\frac {x}{c}}={\sqrt {\frac {b}{c}}}=s_{c}}$ 。

向下的拋物線的切線的斜率為

${\displaystyle {dz_{b} \over dx}=-{x \over b}=-{\sqrt {c \over b}}=s_{b}}$ 。

兩個斜率的乘積為

${\displaystyle s_{c}s_{b}=-1}$ 。

所以，兩條切線相垂直。對於任何兩條凹性相反的拋物線，都會有同樣的結果。

假設 ${\displaystyle \phi \neq 0}$ 。讓 ${\displaystyle \phi }$ 值從 ${\displaystyle 0}$ 緩慢增值，這半平面會相應地繞著 z-軸按照右手定則旋轉；拋物線坐標為常數的拋物線 形成了拋物曲面。一對相反的拋物曲面的相交 設定了一個圓圈。而 ${\displaystyle \phi }$ 值設定的半平面，切過這圓圈於一個唯一點。這唯一點的直角坐標是[1]：

${\displaystyle x={\sqrt {\eta \xi }}\ \cos \phi }$ 、

${\displaystyle y={\sqrt {\eta \xi }}\ \sin \phi }$ 、

${\displaystyle z={\frac {1}{2}}(\xi -\eta )}$ 。

• Morse PM, Feshbach H. . New York: McGraw-Hill. 1953: p. 660. ISBN 0-07-043316-X. 引文格式1维护：冗余文本 (link)

• Margenau H, Murphy GM. . New York: D. van Nostrand. 1956: pp. 185–186. 引文格式1维护：冗余文本 (link)

• Korn GA, Korn TM. . New York: McGraw-Hill. 1961: p. 180. 引文格式1维护：冗余文本 (link)

• Sauer R, Szabó I. . New York: Springer Verlag. 1967: p. 96. 引文格式1维护：冗余文本 (link)

• Zwillinger D. . Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 114. ISBN 0-86720-293-9. 引文格式1维护：冗余文本 (link)

• Moon P, Spencer DE. . corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer-Verlag. 1988: pp. 34–36 (Table 1.08). ISBN 978-0387184302. 引文格式1维护：冗余文本 (link)