拉普拉斯-龍格-冷次向量

在一個物理系統裏，在任意保守的連心力的作用下（參閱保守力），一個粒子的運動，都會擁有至少四個運動常數；能量與角動量${\displaystyle \mathbf {L} }$的三個分量皆為運動常數。粒子的軌道被限制於一個平面。粒子的動量${\displaystyle \mathbf {p} }$和從力中心點的位置到粒子位置的位移${\displaystyle \mathbf {r} }$（參閱圖1）。粒子的運動平面垂直於角動量${\displaystyle \mathbf {L} }$。用方程式表示，

${\displaystyle \mathbf {r} \cdot \mathbf {L} =0}$。

LRL向量${\displaystyle \mathbf {A} }$，也肯定地包含於粒子的運動平面。可是，只有當連心力遵守平方反比定律時，${\displaystyle \mathbf {A} }$才是常數向量[1]。對於別種連心力，${\displaystyle \mathbf {A} }$不是常數向量，其大小與方向都會改變。假若連心力近似地遵守平方反比定律，則${\displaystyle \mathbf {A} }$的大小近似常數，而方向會緩慢地轉動。對於所有的連心力，可以定義一個廣義LRL向量，但是，這廣義向量通常並沒有解析解，假若有，也會是一個非常複雜的函數[8][9]。

在重要的开普勒問題中，LRL向量${\displaystyle \mathbf {A} }$是一個運動常數，時常用來描述天文軌道，例如行星的運動。然而，物理學家對它並不熟悉，這很可能是因為與動量與角動量相比，它的物理內涵比較難以被直覺地理解。因此，在過去三個世紀裏，它曾被重複地發現過許多次[6]。1710年，在一個不著名的義大利學刊裏，雅各布·赫爾曼最先發表了關於LRL向量的論文。在推導一個軌道方程式的過程中，他計算出LRL向量的大小， ${\displaystyle A}$是保守的[10]；並且推導出此案例與橢圓軌道離心率的關係。稍後，赫爾曼把這結果告訴约翰·白努利，他的恩師。白努利又更進一步地推導出LRL向量的方向。這樣，LRL向量得到了它的現代形式[11]。所以，不容質疑地，LRL向量是赫爾曼和白努利共同發現的。

在那個世紀末尾，皮埃爾-西蒙·拉普拉斯又重新地發現了LRL向量的保守性；稍微不同地，他的導引使用的是分析方法，而不是幾何方法[12]。十九世紀中葉，威廉·哈密頓推導出全等的離心率向量[7]。他用離心率向量來證明，在平方反比連心力作用下，速端曲線顯示出，粒子動量向量的頭部呈圓形移動[13] （參閱圖3）。二十世紀初，約西亞·吉布斯，應用向量分析，推導出同樣的向量[14]。後來，卡爾·龍格將吉布斯的導引，納入自己所寫的一本廣受歡迎的，關於向量的，德文教科書內，成為其中的一個例題[15]。1924年，威廉·楞次發表了一篇關於氫原子的舊量子論的論文。在這篇論文中，他引用龍格所寫的教科書的例題為參考[16]。1926年，沃爾夫岡·包立用LRL向量與矩陣力學，而不是薛丁格方程式，來推導氫原子的光譜[3]。這傑作說服了大多數物理學家，使他們覺得量子力學理論是正確的。

圖1:在平方反比連心力的作用下，一個移動中的粒子，在橢圓軌道的四點（標記為1, 2, 3,與4）的LRL向量${\displaystyle \mathbf {A} }$（紅色表示）。力中心點表示為一個小黑點；從這黑點，位置向量${\displaystyle \mathbf {r} }$（黑色表示）以徑向方向指出。角動量${\displaystyle \mathbf {L} }$垂直於軌道的平面。共面的向量${\displaystyle \mathbf {p} \times \mathbf {L} }$與${\displaystyle mk{\hat {\mathbf {r} }}}$分別用藍色與綠色表示。LRL向量${\displaystyle \mathbf {A} }$是一個運動常數向量

平方反比連心力${\displaystyle \mathbf {F} (r)}$可以表達為

${\displaystyle \mathbf {F} (r)=-{\frac {k}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }$；

其中，${\displaystyle k}$是比例常數，${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} ={\frac {\mathbf {r} }{r}}}$是單位向量，${\displaystyle \mathbf {r} }$是粒子的位置向量，${\displaystyle r}$是${\displaystyle \mathbf {r} }$的大小。

感受到此力的作用，一個粒子的軌道運動，其LRL向量的數學定義方程式為[1]

${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {p} \times \mathbf {L} -mk\mathbf {\hat {r}} }$；

其中，${\displaystyle m}$是粒子的質量，${\displaystyle \mathbf {p} }$是動量，${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$是角動量。

由於平方反比連心力為保守力，能量${\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {k}{r}}}$是運動常數：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} t}}={\frac {p}{m}}{\dot {p}}+{\frac {k}{r^{2}}}{\dot {r}}=0}$。

再者，角動量${\displaystyle \mathbf {L} }$也是保守的，可以決定粒子移動平面的取向。因為${\displaystyle \mathbf {p} \times \mathbf {L} }$與${\displaystyle \mathbf {r} }$都垂直於${\displaystyle \mathbf {L} }$，所以，LRL向量${\displaystyle \mathbf {A} }$垂直於角動量；${\displaystyle \mathbf {A} }$包含於軌道的平面。

這個單獨粒子的LRL向量定義，也可以延伸至像开普勒問題一類的二體問題，只需要設定質量${\displaystyle m}$為二個物體的約化質量，設定位置向量${\displaystyle \mathbf {r} }$為二個物體之間的相對位置向量。

同樣的運動常數可以有很多種不同的表述．最常見的一種牽涉到離心率向量。定義離心率向量${\displaystyle \mathbf {e} }$為LRL向量與${\displaystyle mk}$的除商[7][17]：

${\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {\mathbf {A} }{mk}}={\frac {1}{mk}}(\mathbf {p} \times \mathbf {L} )-\mathbf {\hat {r}} }$。

圖2：這是圖1的簡化版，角${\displaystyle \theta }$定義為${\displaystyle \mathbf {A} }$與${\displaystyle \mathbf {r} }$之間的夾角

开普勒問題的運動軌道，其形狀與取向，可以用LRL向量決定[1]。${\displaystyle \mathbf {A} }$與${\displaystyle \mathbf {r} }$的內積為

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {r} =Ar\cos \theta =\mathbf {r} \cdot \left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)-mkr}$；

其中，${\displaystyle \theta }$為${\displaystyle \mathbf {A} }$與${\displaystyle \mathbf {r} }$之間的夾角。

置換其三重積，

${\displaystyle \mathbf {r} \cdot \left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)=\mathbf {L} \cdot \left(\mathbf {r} \times \mathbf {p} \right)=\mathbf {L} \cdot \mathbf {L} =L^{2}}$。

所以，

${\displaystyle Ar\cos \theta =L^{2}-mkr}$。

編排成圓錐曲線的方程式形式：

${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {mk}{L^{2}}}\left(1+{\frac {A}{mk}}\cos \theta \right)}$。

離心率${\displaystyle e}$為

${\displaystyle e={\frac {A}{mk}}={\frac {\left|\mathbf {A} \right|}{mk}}}$。

开普勒軌道與能量的關係可以由LRL向量推導出。${\displaystyle \mathbf {A} }$與自己的內積為

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} &=(\mathbf {p} \times \mathbf {L} -mk\mathbf {\hat {r}} )\cdot (\mathbf {p} \times \mathbf {L} -mk\mathbf {\hat {r}} )\\&=p^{2}L^{2}+m^{2}k^{2}-2mk{\hat {\mathbf {r} }}\cdot (\mathbf {p} \times \mathbf {L} )\\&=\left(2mE+{\frac {2mk}{r}}\right)L^{2}+m^{2}k^{2}-{\frac {2mk}{r}}L^{2}\\\end{aligned}}}$ 。

所以，

${\displaystyle A^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2}}$。

稍微編排，離心率的平方${\displaystyle e^{2}}$是能量${\displaystyle E}$的函數：

${\displaystyle e^{2}=1+{\frac {2L^{2}}{mk^{2}}}E}$。

假若能量${\displaystyle E}$是負值的（束縛軌道），則離心率小於1，這軌道是橢圓形軌道。相反地，假若能量是正值的（非束縛軌道，又稱為散射軌道）則離心率大於1，這軌道是雙曲線軌道。最後，假若能量等於零，則離心率等於1，這軌道是拋物線軌道。對於所有狀況，LRL向量與圓錐曲線的對稱軸平行，而且從力中心點指向近拱點。

圖3 :在平方反比連心力作用下，隨著粒子的軌道運動，使用速端曲線圖，固定動量向量${\displaystyle \mathbf {p} }$ (藍色表示)的尾部於原點，則其頭部呈圓形移動。四個標記的點對應於圖1的四點。圓形的中心是在p_y-軸，p_y-座標為${\displaystyle A/L}$（以品紅色表示），半徑是${\displaystyle mk/L}$（以綠色表示）

假設一個粒子在做軌道運動。其速度向量的物理行為可以用速端曲線顯示出來，而動量是速度乘以質量。所以，速端曲線也可以顯示出動量的物理行為。在平方反比連心力作用下，速端曲線（圖3）顯示出，粒子的動量向量的頭部呈圓形移動；這事實可以用LRL向量${\displaystyle \mathbf {A} }$與角動量${\displaystyle \mathbf {L} }$的保守性來證明[13][6]。計算${\displaystyle \mathbf {L} }$與${\displaystyle \mathbf {A} }$的叉積：

${\displaystyle L^{2}\mathbf {p} =\mathbf {L} \times \mathbf {A} -mk{\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {L} }$。

設定xyz參考系的圓點在力中心點，${\displaystyle \mathbf {L} }$與z-軸同方向，x-軸與半長軸同軸。則

${\displaystyle p_{x}^{2}+\left(p_{y}-A/L\right)^{2}=\left(mk/L\right)^{2}}$。

換句話說，動量${\displaystyle \mathbf {p} }$的頭部被限制於一個圓圈；圓圈的半徑為${\displaystyle mk/L}$，圓心為${\displaystyle (0,\ A/L)}$。如圖3所示，圓形的動量速端曲線毫無疑問地顯示出克卜勒問題的對稱性。

夾角${\displaystyle \eta }$的一邊是點2與圓心的連線，另一邊是負p_y-軸。很顯然地，離心率等於${\displaystyle \cos \eta }$。為了簡化運算，在這裏提出一個很有用的變量${\displaystyle p_{0}={\sqrt {2m\left|E\right|}}}$。

在克卜勒問題裏，兩個向量${\displaystyle \mathbf {A} }$，${\displaystyle \mathbf {L} }$與一個純量${\displaystyle E}$加起來一共有七個常數純量。它們之間的相關性表達於${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {L} =0}$與${\displaystyle A^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2}}$這兩個公式。因為${\displaystyle \mathbf {A} }$的大小可以由角動量${\displaystyle \mathbf {L} }$與能量${\displaystyle E}$計算出來。再者，${\displaystyle \mathbf {A} }$必須垂直於${\displaystyle \mathbf {L} }$。所以，${\displaystyle \mathbf {A} }$只能貢獻1個運動常數。

由於有上述兩個關係公式，這物理系統一共有五個獨立的運動常數。這結果與設定粒子軌道所需的六個初始條件（粒子的初始位置向量與初始速度向量，每一個向量有三個分量）相符合，原因是運動常數不涉及初始時間（視六個初始條件函數的參數為自變量初始時間。用其中的一個初始條件函數除去這自變量；將此初始條件函數當作一個自變量，則剰餘五個初始條件函數，函數的參數為新自變量）。

因為運動方程式是二階微分方程，一個擁有${\displaystyle d}$ 自由度的物理系統，需要${\displaystyle 2d}$個初始條件來設定解答。由於運動常數不涉及初始時間，這物理系統最多只能擁有${\displaystyle 2d-1}$個運動常數。一個擁有超過${\displaystyle d}$個運動常數的物理系統稱為超級可積分系統；而一個擁有${\displaystyle 2d-1}$個運動常數的物理系統稱為最大超級可積分系統[18]。哈密頓-亞可比方程式的解答，採用任意一種坐標系統，最多只能求得${\displaystyle d}$個運動常數[19]。

克卜勒問題擁有三個自由度（${\displaystyle d=3}$）與五個運動常數；克卜勒問題的系統是最大超級可積分系統；採用球坐標或拋物線坐標，哈密頓－亞可比方程式都是可積分的[20]；這論據，稍後會有詳細的解釋。最大超級可積分系統可以用對易關係來量子化，這論據，稍後也會又更明瞭的說明[21]。

图5：橢圓軌道的慢進動，離心率${\displaystyle e=0.667}$。假若，引性的連心力與平方反比定律稍微有點不同，類似的進動就會發生

只有在一個標準的平方反比連心力下，粒子的LRL向量${\displaystyle \mathbf {A} }$是保守的。對於大多數的實際問題，例如行星運動，作用力並不會完全地遵守平方反比定律，而可能會含有別種微擾的連心力；稱其負值不定積分為微擾勢，標記為${\displaystyle h(r)}$。在這種狀況下，LRL向量會緩慢地轉動於軌道平面，相應於軌道的慢進動。假若微擾勢${\displaystyle h(r)}$為一個保守的連心勢，也就是說，總能量${\displaystyle E}$與角動量${\displaystyle \mathbf {L} }$都是保守的，則粒子的運動仍舊包含於一個垂直於${\displaystyle \mathbf {L} }$的平面，大小${\displaystyle A}$仍舊是保守的。微擾勢${\displaystyle h(r)}$可以是任何形式的函數。但是，微擾值應該顯著地弱於主連心勢。一個典形的微擾勢可以表示為

${\displaystyle h(r)=-\ {\frac {h}{r^{n}}}}$；

其中，${\displaystyle h}$是微擾勢強度，整數${\displaystyle n\leq 2}$。

用正則微擾理論與作用量-角度座標，可以直接地推導出LRL向量的轉動率是[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {\Omega }}={\frac {\partial }{\partial L}}\langle h(r)\rangle &={\frac {\partial }{\partial L}}\left\{{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}h(r)\,\mathrm {d} t\right\}\\&={\frac {\partial }{\partial L}}\left\{{\frac {m}{TL}}\int _{0}^{2\pi }r^{2}h(r)\,\mathrm {d} \theta \right\}\\\end{aligned}}}$ ；

其中，${\displaystyle T}$是軌道週期，恆等式${\displaystyle Ldt=mr^{2}\mathrm {d} \theta }$轉變時間積分為角積分（如圖5）。角括號表達式${\displaystyle \langle h(r)\rangle }$是週期平均微擾勢；也就是說，物體繞軌道一個公轉的平均微擾勢。取平均值可以減少轉動率的變動。

這方法曾經被用來證實愛因斯坦的廣義相對論。廣義相對論在常見的牛頓萬有引力項目外，又添加了一項小的反立方微擾[22]。

${\displaystyle h(r)={\frac {kL^{2}}{m^{2}c^{2}}}\left({\frac {1}{r^{3}}}\right)}$。

將此函數代入積分。再代入${\displaystyle r}$與${\displaystyle \theta }$的關係公式

${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {mk}{L^{2}}}\left(1+{\frac {A}{mk}}\cos \theta \right)}$，

就可以計算出這非牛頓微擾所產生的近拱點進動率[22]:

${\displaystyle {\bar {\Omega }}={\frac {6\pi k^{2}}{TL^{2}c^{2}}}}$。

計算出的答案準確地符合實驗觀測到的水星進動數據[23]和雙重脈衝星數據[24]。這與實驗數據一致的結果被認為是廣義相對論的強證[25][26]。

角動量${\displaystyle \mathbf {L} }$的三個分量${\displaystyle L_{i}}$的帕松括號是[1]

${\displaystyle \{L_{i},L_{j}\}=\sum _{s=1}^{3}\epsilon _{ijs}L_{s}}$；

其中，指標${\displaystyle i,\ j=1,\ 2,\ 3}$代表直角座標系的三個座標${\displaystyle (x,\ y,\ z)}$，${\displaystyle \epsilon _{ijs}}$是列維-奇維塔符號；在這裏，為了避免與力強度的標記${\displaystyle k}$發生混淆，採用${\displaystyle s}$為連加運算的指標。

定義一個與LRL向量成比例的向量${\displaystyle \mathbf {D} }$為

${\displaystyle \mathbf {D} ={\frac {\mathbf {A} }{\sqrt {2m\left|E\right|}}}}$。

向量${\displaystyle \mathbf {D} }$與角動量${\displaystyle \mathbf {L} }$的單位相同。${\displaystyle \mathbf {D} }$與${\displaystyle \mathbf {L} }$的帕松括號為[27]

${\displaystyle \{D_{i},L_{j}\}=\sum _{s=1}^{3}\epsilon _{ijs}D_{s}}$。

向量${\displaystyle \mathbf {D} }$與自己的帕松括號跟總能量${\displaystyle E}$的正負號有關；也就是說，跟是否總能量${\displaystyle E}$是正值（在平方反比連心力作用下，產生開放的雙曲線軌道），或負值（在平方反比連心力作用下，產生閉合地橢圓軌道）有關。假若總能量${\displaystyle E}$是正值，帕松括號是

${\displaystyle \{D_{i},D_{j}\}=-\sum _{s=1}^{3}\epsilon _{ijs}L_{s}}$。

反之，假若總能量${\displaystyle E}$是負值，帕松括號是

${\displaystyle \{D_{i},D_{j}\}=\sum _{s=1}^{3}\epsilon _{ijs}L_{s}}$。

由於以下這三個帕松括號方程式，

${\displaystyle \{L_{i},L_{j}\}=\sum _{s=1}^{3}\epsilon _{ijs}L_{s}}$，

${\displaystyle \{D_{i},L_{j}\}=\sum _{s=1}^{3}\epsilon _{ijs}D_{s}}$，

${\displaystyle \{D_{i},D_{j}\}=\sum _{s=1}^{3}\epsilon _{ijs}L_{s}}$，

如果總能量${\displaystyle E}$是負值，則可確定克卜勒問題的對稱群是四維的旋轉群SO(4)。

假若總能量${\displaystyle E}$是負值，卡西米爾不變量${\displaystyle C_{1},\ C_{2}}$定義為

${\displaystyle C_{1}=\mathbf {D} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {L} \cdot \mathbf {L} ={\frac {mk^{2}}{2\left|E\right|}}}$，

${\displaystyle C_{2}=\mathbf {D} \cdot \mathbf {L} =0}$。

而且，卡西米爾不變量與${\displaystyle \mathbf {D} }$的每一個分量的帕松括號皆為零：

${\displaystyle \{C_{1},D_{i}\}=\{C_{2},D_{i}\}=0}$。

還有，卡西米爾不變量與${\displaystyle \mathbf {L} }$的每一個分量的帕松括號皆為零：

${\displaystyle \{C_{1},L_{i}\}=\{C_{2},L_{i}\}=0}$。

既然兩個向量${\displaystyle \mathbf {D} }$與${\displaystyle \mathbf {L} }$永遠是互相垂直的，${\displaystyle C_{2}}$明顯地是零。可是，另外一個不變量${\displaystyle C_{1}}$只跟質量${\displaystyle m}$、力強度${\displaystyle k}$、總能量${\displaystyle E}$有關。不變量${\displaystyle C_{1}}$分別與${\displaystyle D_{i}}$，${\displaystyle L_{i}}$的帕松括號等於零的導引並不明顯。這不變量${\displaystyle C_{1}}$使得只用到量子力學的正則對易關係，就可以推導出類氫原子的原子能級，而不必用到的薛丁格方程式。

圖6：從LRL向量算符與角動量算符的對易關係，預測出來的氫原子的原子能級。各種實驗都準確地證實這些能級正確無誤。

帕松括號提供了一個簡易的方法來正則量子化經典系統。兩個量子算符的對易關係等於${\displaystyle i\hbar }$乘以對應的經典變量[28]。經過這量子化程序，計算克卜勒問題的卡西米爾算符${\displaystyle C_{1}}$的本徵值，沃爾夫岡·包利成功地推導出類氫原子的原子能級（參閱圖6），以及其發射光譜[3]。早在薛丁格方程式成立之前[29]，包利就研究出這重要的結果！

LRL向量${\displaystyle \mathbf {A} }$的量子算符有一個奧妙之處，那就是動量算符與角動量算符並不對易。動量與角動量的叉積必須仔細地加以定義[27]。LRL向量的直角座標分量典型地定義為

${\displaystyle A_{k}\equiv -m_{e}\alpha {\hat {r}}_{k}+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\epsilon _{ijk}\left(p_{i}l_{j}+l_{j}p_{i}\right)}$；

其中，${\displaystyle m_{e}}$是電子的質量，常數${\displaystyle \alpha ={\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}}$，${\displaystyle e}$是單位電荷量，${\displaystyle \epsilon _{0}}$是真空電容率。

這定義有一個特性：指標${\displaystyle i,\ j}$是對稱的，指標${\displaystyle i,\ j}$的互換不會改變${\displaystyle A_{k}}$的數值。表示為向量形式，

${\displaystyle \mathbf {A} =-m_{e}\alpha {\hat {r}}+{\frac {1}{2}}(\mathbf {p} \times \mathbf {L} -\mathbf {L} \times \mathbf {p} )}$。

那麼，其對應的哈密頓算符是

${\displaystyle H={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m_{e}}}-{\frac {\alpha }{r}}}$。

與${\displaystyle \mathbf {A} }$向量成正比的${\displaystyle \mathbf {D} }$向量則是

${\displaystyle \mathbf {D} ={\frac {\mathbf {A} }{\sqrt {-2m_{e}H}}}}$。

請注意，由於哈密頓算符的本徵值是負值，所以公式內的平方根是個實數。

經過一番繁冗的運算，可以求得對易關係：

${\displaystyle \{L_{i},\,L_{j}\}=i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k}}$、

${\displaystyle \{L_{i},\,D_{j}\}=i\hbar \epsilon _{ijk}D_{k}}$、

${\displaystyle \{D_{i},\,D_{j}\}=i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k}}$、

${\displaystyle \{H,\,D_{i}\}=0}$。

定義第一階張量算符為

${\displaystyle J_{0}\equiv D_{3}}$、

${\displaystyle J_{\pm 1}\equiv \mp {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(D_{1}\pm iD_{2}\right)}$。

一個歸一化的第一卡西米爾算符可以同樣地定義為

${\displaystyle C_{1}\equiv \mathbf {D} ^{2}+\mathbf {L} ^{2}={\frac {m_{e}\alpha ^{2}}{-2H}}-\hbar ^{2}}$。

注意到${\displaystyle J_{+1}}$和${\displaystyle J_{-1}}$的對易關係是

${\displaystyle \{J_{+1},J_{-1}\}=i\{D_{1},\,D_{2}\}=-\hbar L_{3}}$。

應用維格納-埃卡特定理（），

${\displaystyle J_{0}|l,\,m\rangle =i{\sqrt {l^{2}-m^{2}}}\ {\mathfrak {C}}_{l}|l-1,\,m\rangle -i{\sqrt {(l+1)^{2}-m^{2}}}\ {\mathfrak {C}}_{l+1}|l+1,\,m\rangle }$、

${\displaystyle J_{+1}|l,\,m\rangle =-i{\sqrt {(l-m)(l-m-1)/2}}\ {\mathfrak {C}}_{l}|l-1,\,m+1\rangle -i{\sqrt {(l+m+1)(l+m+2)/2}}\ {\mathfrak {C}}_{l+1}|l+1,\,m+1\rangle }$、

${\displaystyle J_{-1}|l,\,m\rangle =-i{\sqrt {(l+m)(l+m-1)/2}}\ {\mathfrak {C}}_{l}|l-1,\,m-1\rangle -i{\sqrt {(l-m+1)(l-m+2)/2}}\ {\mathfrak {C}}_{l+1}|l+1,\,m-1\rangle }$；

其中，${\displaystyle |l,\,m\rangle }$是角量子數為${\displaystyle l}$、磁量子數為${\displaystyle l}$的本徵態，${\displaystyle {\mathfrak {C}}_{l}}$是常數係數。

經過一番運算，${\displaystyle J_{+1}}$和${\displaystyle J_{-1}}$的對易算符作用於${\displaystyle |l,\,m\rangle }$的結果是

${\displaystyle {\begin{aligned}\{J_{+1},\,J_{-1}\}|l,\,m\rangle &=-m[(2l-1){\mathfrak {C}}_{l}^{2}-(2l+3){\mathfrak {C}}_{l+1}^{2}]|l,\,m\rangle \\&=-\hbar L_{3}|l,\,m\rangle =-m\hbar ^{2}\\\end{aligned}}}$。

所以，${\displaystyle {\mathfrak {C}}_{l}}$的遞迴關係是

${\displaystyle (2l-1){\mathfrak {C}}_{l}^{2}-(2l+3){\mathfrak {C}}_{l+1}^{2}=\hbar ^{2}}$。

假設${\displaystyle {\mathfrak {C}}_{l}^{2}}$是非負值，則為了滿足上述公式，${\displaystyle l>0}$。再假設${\displaystyle l}$的最大值是${\displaystyle l_{max}}$。由於態向量${\displaystyle |l_{max}+1,\,\ \rangle }$不存在，${\displaystyle {\mathfrak {C}}_{l_{max}+1}=0}$。因此，${\displaystyle {\mathfrak {C}}_{l_{max}}={\frac {\hbar ^{2}}{2l_{max}-1}}}$。設定${\displaystyle n=l_{max}-1}$，稍加計算，${\displaystyle {\mathfrak {C}}_{l}}$的一般方程式為

${\displaystyle {\mathfrak {C}}_{l}={\sqrt {\frac {n^{2}-l^{2}}{4l^{2}-1}}}\ \hbar }$。

這個${\displaystyle n}$就是跟能級有關的主量子數。先計算${\displaystyle D^{2}}$：

${\displaystyle {\begin{aligned}D^{2}|n,\,l,\,m\rangle &=[J_{+1}J_{-1}+J_{-1}J_{+1}+J_{0}^{2}]|n,\,l,\,m\rangle \\&=(n^{2}-l^{2}-l-1)\hbar ^{2}|n,\,l,\,m\rangle \\\end{aligned}}}$ 。

所以，第一卡西米爾算符${\displaystyle C_{1}}$作用於態向量${\displaystyle |n,\,l,\,m\rangle }$可以得到

${\displaystyle C_{1}|n,\,l,\,m\rangle =(D^{2}+L^{2})|n,\,l,\,m\rangle =(n^{2}-1)\hbar ^{2}|n,\,l,\,m\rangle }$。

第一卡西米爾算符${\displaystyle C_{1}}$的本徵值是${\displaystyle (n^{2}-1)\hbar ^{2}}$。重點是，這些本徵值跟量子數${\displaystyle l}$、${\displaystyle m}$無關，這造成了原子能階的簡併[27]：

${\displaystyle E_{n}=-{\frac {m_{e}\alpha ^{2}}{2\hbar ^{2}n^{2}}}=-{\frac {m_{e}e^{4}}{2n^{2}(4\pi \epsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}}}}$。

這就是著名的氫原子波耳公式。

在克卜勒問題裏，LRL向量的保守性對應於系統的一種微妙的對稱性。在經典力學裏，對稱性可以由連續運算顯示出來；這連續運算可以將一個軌道映射至另外一個軌道，而同時保持系統的能量不變。在量子力學裏，連續運算將同能級原子軌域混合在一起，也就是說，（簡併原子能級）。

通常，對於每一個對稱性都會存在有一個保守量[1]。例如，連心力系統必對稱於旋轉群SO(3)；因而指引出角動量${\displaystyle \mathbf {L} }$的保守性。在經典力學裏，整個系統的旋轉不會影響軌道的能量。在量子力學裏，假若旋轉只混合角量子數相同的球諧函數，則系統的能量不會改變。

圖7：同能量的動量的速端曲線家族。每一個圓圈都經過在p_x-軸上，同樣的兩點${\displaystyle \pm p_{0}=\pm {\sqrt {2m\left|E\right|}}}$。這一家族的速端曲線對應於一個家族的阿波羅尼奧斯圓，和雙極坐標的${\displaystyle \sigma }$ 坐標曲面。

平方反比連心力系統的對稱性是更高維與更微妙的。這奇特的對稱性是由角動量${\displaystyle \mathbf {L} }$與LRL向量${\displaystyle \mathbf {A} }$的雙重保守性造成的；這保證了氫原子的能級跟角量子數${\displaystyle l}$、磁量子數${\displaystyle m}$無關。由於對稱性運算必須發生於更高維空間，使得這對稱性更加的微妙；這類的對稱性常稱為隱祕對稱性[30]。在經典力學裏，克卜勒問題的高維對稱性容許連續的改變軌道．只要保持能量不變，而角動量可以改變；換句話說，同能量，不同角動量（離心率）的軌道可以互相的連續變換。在量子力學裏，這對應著不同角量子數${\displaystyle l}$與磁量子數${\displaystyle m}$的軌域的混合，例如${\displaystyle s(l=0)}$與${\displaystyle p(l=1)}$ 原子軌域的混合。這種混合是不能用普通的三維平移運算或旋轉運算達成的。可是，這種混合等價於高維度空間的旋轉。

在一個束縛（bounded）系統裏，能量是負值的，這高維對稱群是SO(4)；特性是四維向量的長度保持不變：

${\displaystyle \left|\mathbf {e} \right|^{2}=e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+e_{3}^{2}+e_{4}^{2}}$。

1935年，弗拉基米尔·福克表明，在量子力學裏，束縛的克卜勒問題等價於一個粒子自由地移動於四維空間的三維單位球[4]。更具體地，佛克表明，在克卜勒問題的動量空間，薛丁格波函數是球諧函數的球極平面投影。圓球的旋轉與重複射影造成了橢圓軌域的連續映射，同時維持能量不變；這對應於主量子數${\displaystyle n}$相同的軌域的混合。隨後，華倫泰·巴格曼注意到，跟LRL向量成比例的向量${\displaystyle \mathbf {D} }$與角動量${\displaystyle \mathbf {L} }$的帕松括號形成SO(4)的李代數[5]。簡單地說，${\displaystyle \mathbf {D} }$與${\displaystyle \mathbf {L} }$的六個物理量對應於在四維空間裏的六個保守的角動量分量，相伴於在四維空間裏的六個合法的簡單旋轉（從四個軸中，選兩個軸為旋轉軸。一共有六種可能）。這結論並不意示宇宙是一個三維球面；而只是說，這個特別的物理問題（克卜勒問題），在數學上，等價於移動於三維球面的一個自由粒子。

在一個非束縛（unbound），散射系統裏，能量是正值的，對應的高維對稱群是SO(3,1)；其特性是保持四維矢量的閔考斯基長度不變：

${\displaystyle ds^{2}=e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+e_{3}^{2}-e_{4}^{2}}$。

連心力系統（包括克卜勒問題的那些系統）的軌道對於反射也具有對稱性。所以，軌道的完全對稱群並不是前面所提的SO(3)、SO(4)、SO(3,1)群；而分別是O(3)、O(4)、O(3,1)。然而，只需要連通子群SO(3)、SO(4)、SO(3,1)來展示出角動量與LRL向量的保守性；反射對稱性與保守性不相關。保守性可以由群的李代數推導出來[31][32]。

圖8：圖7的動量的速端曲線對應於${\displaystyle \eta }$ 三維單位球的大圓線的球極平面投影。每一個大圓線都與${\displaystyle \eta _{x}}$-軸相交，後者垂直於頁面。投影是從北極（${\displaystyle w}$單位向量）到${\displaystyle \eta _{x}}$${\displaystyle \eta _{x}}$-平面，如同這裏的虛黑線表示於品紅色速端曲線。在緯度${\displaystyle \alpha }$的大圓線對應於離心率${\displaystyle e=sin\ \alpha }$。在這圖裏的大圓線的顏色對應於它們在圖7的速端曲線。

克卜勒問題與四維旋轉對稱性SO(4)的關聯可以很容易地觀察出來[31][33][34]。標記四維直角座標為${\displaystyle (w,\ x,\ y,\ z)}$；其中，${\displaystyle (x,\ y,\ z)}$代表三維位置向量${\displaystyle \mathbf {r} }$的直角座標。三維動量${\displaystyle \mathbf {p} }$與三維單位球的四維向量${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}$的關係為

${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}=\displaystyle {\frac {p^{2}-p_{0}^{2}}{p^{2}+p_{0}^{2}}}\mathbf {\hat {w}} +{\frac {2p_{0}}{p^{2}+p_{0}^{2}}}\mathbf {p} }$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {\hat {w}} }$是新的w-軸的單位向量。

很簡單地，可以核對${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}$也是一個單位向量：

${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}={\hat {\boldsymbol {\eta }}}}$。

從${\displaystyle \mathbf {p} }$至${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\eta }}}}$的映射有一個獨特唯一的逆反；例如，動量${\displaystyle \mathbf {p} }$的x-軸分量是

${\displaystyle p_{x}=p_{0}{\frac {\eta _{x}}{1-\eta _{w}}}}$。

${\displaystyle p_{y}}$與${\displaystyle p_{z}}$也有類似的公式。換句話說，三維動量向量${\displaystyle \mathbf {p} }$是四維單位向量${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\eta }}}}$的球極平面投影，其比例因子為${\displaystyle p_{0}}$。

選擇一個合適的直角座標，使z-軸與角動量${\displaystyle \mathbf {L} }$同直線，使動量的速端曲線的取向如同圖7，圓心包含於y-軸。這樣，不失廣義性，就可以觀察到這旋轉對稱性。由於粒子的運動包含於一個平面，${\displaystyle \mathbf {p} }$與${\displaystyle \mathbf {L} }$互相垂直，而且，${\displaystyle p_{z}=\eta _{z}=0}$。因此，只需要專注於三維向量${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\eta }}}=(\eta _{w},\ \eta _{x},\ \eta _{y})}$。圖7速端曲線的阿波羅尼奧斯圓家族對應於在三維單位球${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}$的大圓線家族。每一個大圓線與${\displaystyle \eta _{x}}$相交於兩個交點${\displaystyle \eta _{x}=\pm 1}$。這兩個交點相對於速端曲線圖的兩點${\displaystyle p_{x}=\pm p_{0}}$。這兩個交點也是這些大圓線的共同交點。所以，這些大圓線的互相關係是一個環繞著${\displaystyle \eta _{x}}$-軸的簡單旋轉（參閱圖8）。以${\displaystyle \eta _{x}}$-軸為轉軸，每一個大圓線的位置是從${\displaystyle \eta _{x}\eta _{y}}$-平面旋轉${\displaystyle \alpha }$角。

取任意一個大圓線${\displaystyle \eta _{y}}$最大值的一點，其坐標為${\displaystyle (\eta _{w},\ 0,\ \eta _{y},\ 0)}$。那麼，

${\displaystyle p_{x}=0}$、

${\displaystyle p_{y}=p=(A+mk)/L}$、

${\displaystyle \eta _{y}=\cos(\alpha )={\frac {2p_{0}p_{y}}{p_{y}^{2}+p_{0}^{2}}}}$。

經過一番運算，代入${\displaystyle p_{0}}$的值，可以得到

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\alpha )&={\frac {p_{y}^{2}-p_{0}^{2}}{p_{y}^{2}+p_{0}^{2}}}\\&={\frac {(A+mk)^{2}-2m|E|L^{2}}{(A+mk)^{2}+2m|E|L^{2}}}\\\end{aligned}}}$ 。

給予一個束縛軌道，能量是負值的：

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\alpha )&={\frac {(A+mk)^{2}+2mEL^{2}}{(A+mk)^{2}-2mEL^{2}}}\\&={\frac {A}{mk}}=e\\\end{aligned}}}$ 。

所以，離心率${\displaystyle e=\sin(\alpha )}$是緯度${\displaystyle \alpha }$的正弦函數。

由於圖7的動量的速端曲線對應於${\displaystyle \eta }$三維單位球的大圓線的球極平面投影，而這速端曲線家族的成員都擁有相同的能量。所以，這旋轉的對稱性使所有能量相同的軌道都能夠互相變換。但是，這旋轉正交於通常的三維旋轉，因為它涉及了第四維${\displaystyle \eta _{w}}$。高維度的對稱性是克卜勒問題對應於LRL向量的一個特徵。

採用橢圓柱坐標${\displaystyle \chi ,\ \psi ,\ \phi }$來代替四維座標${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}$，克卜勒問題有一個精緻的作用量-角度座標解答[35]：

${\displaystyle \eta _{w}=\mathrm {cn} \,\chi \ \mathrm {cn} \,\psi }$，

${\displaystyle \eta _{x}=\mathrm {sn} \,\chi \ \mathrm {dn} \,\psi \ \cos \phi }$，

${\displaystyle \eta _{y}=\mathrm {sn} \,\chi \ \mathrm {dn} \,\psi \ \sin \phi }$，

${\displaystyle \eta _{z}=\mathrm {dn} \,\chi \ \mathrm {sn} \,\psi }$；

其中，${\displaystyle \mathrm {sn} ,\,\mathrm {cn} ,\,\mathrm {dn} }$是雅可比橢圓函數。

以下幾種導引可以証明，在平方反比連心力下，LRL向量守恆。