指数分布

随机变量X (X 的母數為λ或β) 的期望值是：

${\displaystyle \mathbf {E} (X)={\frac {1}{\color {Red}{\lambda }}}={\color {Red}\beta }}$

例如：如果你平均每个小时接到2次电话，那么你预期等待每一次电话的时间是半个小时。

X 的方差是：

${\displaystyle \mathbf {Var} (X)={\frac {1}{\color {Red}{\lambda ^{2}}}}={\color {Red}\beta ^{2}}}$

X 的偏態系数是： V[X] = 1

指数函数的一个重要特征是无记忆性（Memoryless Property，又稱遺失記憶性）。这表示如果一个随机变量呈指数分布，它的条件概率遵循：

${\displaystyle P(T>s+t\;|\;T>t)=P(T>s)\;\;{\hbox{for all}}\ s,t\geq 0.}$

泊松過程是一种重要的随机过程。泊松過程中，第k次随机事件与第k+1次随机事件出现的时间间隔服从指数分布。而根据泊松過程的定义，长度为t的时间段内没有随机事件出现的概率等于

${\displaystyle {\frac {e^{-\lambda t}(\lambda t)^{0}}{0!}}=e^{-\lambda t}}$,

长度为t的时间段内随机事件发生一次的概率等于 ${\displaystyle {\frac {e^{-\lambda t}(\lambda t)^{1}}{1!}}=e^{-\lambda t}\lambda t}$, 所以第k次随机事件之后长度为t的时间段内，第k+n次 (n=1, 2, 3,...)随机事件出现的概率等于${\displaystyle 1-e^{-\lambda t}}$。这是指数分布。这还表明了泊松过程的无记忆性。

率参数λ的四分位数函数（Quartile function）是：

${\displaystyle F^{-1}(p;\lambda )={\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }},\qquad 0\leq p<1}$

• 第一四分位数：${\displaystyle \ln(4/3)/\lambda \,}$
• 中位数：${\displaystyle \ln(2)/\lambda \,}$
• 第三四分位数：${\displaystyle \ln(4)/\lambda \,}$

因此，四分位距為ln(3)/λ。

给定独立同分布样本x = (x₁, ..., x_n)，λ的似然函数（Likelihood function）是：

${\displaystyle L(\lambda )=\prod _{i=1}^{n}\lambda \,\exp(-\lambda x_{i})=\lambda ^{n}\,\exp \!\left(\!-\lambda \sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)=\lambda ^{n}\exp \left(-\lambda n{\overline {x}}\right)}$

其中：

${\displaystyle {\overline {x}}={1 \over n}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$是样本期望値。

似然函数对数的导数是：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \lambda }}\ln L(\lambda )={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \lambda }}\left(n\ln(\lambda )-\lambda n{\overline {x}}\right)={n \over \lambda }-n{\overline {x}}\ \left\{{\begin{matrix}>0&{\mbox{if}}\ 0<\lambda <1/{\overline {x}},\\\\=0&{\mbox{if}}\ \lambda =1/{\overline {x}},\\\\<0&{\mbox{if}}\ \lambda >1/{\overline {x}}.\end{matrix}}\right.}$

参数λ的最大概似估計（Maximum likelihood）值是：

${\displaystyle {\widehat {\lambda }}={\frac {1}{\overline {x}}}}$