指数积分

指数积分可以用以下的收敛级数来表示：

${\displaystyle {\mbox{Ei}}(x)=\gamma +\ln x+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k\;k!}}\,,~~~~~x>0}$

${\displaystyle E_{1}(z)=-\gamma -\ln z+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}z^{k}}{k\;k!}}\,,~~~~~~~~{\rm {Re}}(z)>0}$

其中${\displaystyle ~\gamma \approx 0.5772156649015328606...~}$是欧拉-马歇罗尼常数。这个级数在自变量为任何复数时都是收敛的，但Ei的定义则需要${\displaystyle ~x\!>\!0~}$。

截断和中取${\displaystyle ~N~}$项时，渐近展开式的相对误差

自变量的值较大时，用以上的收敛级数来计算指数积分是困难的。在这种情况下，我们可以使用发散（或渐近）级数：

${\displaystyle E_{1}(z)={\frac {\exp(-z)}{z}}\left[\sum _{n=0}^{N-1}{\frac {n!}{(-z)^{n}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {N!}{z^{N}}}\right)\right]}$

这个截断和可以用来计算${\displaystyle ~{\rm {Re}}(z)\!\gg \!1~}$时函数的值。级数中的项数越多，自变量的实数部分就应该越大。

图中描述了以上估计的相对误差。

${\displaystyle ~E_{1}~}$在自变量较大时的表现类似指数函数，自变量较小时类似对数函数。${\displaystyle ~E_{1}~}$是位于以下两个函数之间的：

${\displaystyle {\frac {\exp(-x)}{2}}\!~\ln \!\left(1+{\frac {2}{x}}\right)<E_{1}(x)<\exp(-x)\!~\ln \!\left(1+{\frac {1}{x}}\right)~~~~~~~~x\!>\!0}$

这个不等式的左端在图中用蓝色曲线来表示，中间的黑色曲线是${\displaystyle ~{\rm {E}}_{1}(x)~}$，不等式的右端用红色曲线来表示。

指数积分与对数积分li(x)有密切的关系：

li(x) = Ei (ln (x))    对于所有正实数x ≠ 1。

另外一个有密切关系的函数，具有不同的积分限：

${\displaystyle {\rm {E}}_{1}(x)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-tx}}{t}}\,\mathrm {d} t=\int _{x}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,\mathrm {d} t.}$

这个函数可以视为把指数积分延伸到负数：

${\displaystyle {\rm {Ei}}(-x)=-{\rm {E}}_{1}(x).\,}$

我们可以把两个函数都用整函数来表示：

${\displaystyle {\rm {Ein}}(x)=\int _{0}^{x}(1-e^{-t})\,{\frac {\mathrm {d} t}{t}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{k\;k!}}.}$

利用这个函数，我们可以用对数来定义：

${\displaystyle {\rm {E}}_{1}(z)\,=\,-\gamma -\ln z+{\rm {Ein}}(z),~~~~~~|{\rm {Arg}}(z)|<\pi ~}$

以及

${\displaystyle {\rm {Ei}}(x)\,=\,\gamma +\ln x-{\rm {Ein}}(-x),~~~~~~x>0.}$

指数积分还可以推广为：

${\displaystyle {\rm {E}}_{n}(x)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-xt}}{t^{n}}}\,\mathrm {d} t,}$

它是不完全伽玛函数的一个特例：

${\displaystyle {\rm {E}}_{n}(x)=x^{n-1}\Gamma (1-n,x).\,}$

这个推广的形式有时成为Misra函数${\displaystyle \varphi _{m}(x)}$，定义为：

${\displaystyle \varphi _{m}(x)={\rm {E}}_{-m}(x).\,}$

函数${\displaystyle ~{\rm {E}}_{n}~}$与${\displaystyle ~{\rm {E}}_{1}~}$的导数有以下简单的关系：

${\displaystyle {{\rm {E}}_{n}}'(z){n-1}(z),~~~~~~~~(|{\rm {Arg}}(z)|<\pi ,~~~n>0)}$

然而，这里假设了${\displaystyle ~n~}$是整数；复数${\displaystyle ~n~}$的推广还没有在文献中报导，虽然这种推广是有可能的。在 y=2^x的圖形中，其導函數在任意x值所對應的y值為原函數的0.693倍。

${\displaystyle {\rm {E}}_{1}({\rm {i}}\!~x)}$ versus ${\displaystyle ~x~}$, real part(black) and imaginary part (red).

从以下的表示法中

${\displaystyle {\rm {E}}_{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {\exp(-zt)}{t}}\,{\rm {d}}t,~~~~~~({\rm {Re}}(z)\geq 0)}$

可以看出指数积分与正弦积分（Si）和余弦积分（Ci）之间的关系：

${\displaystyle {\rm {E}}_{1}({\rm {i}}\!~x)=-{\frac {\pi }{2}}+{\rm {Si}}(x)-{\rm {i}}\cdot {\rm {Ci}}(x),~~~~~~~~~(x>0)}$

图中的黑色和红色曲线分别描述了${\displaystyle ~{\rm {E}}_{1}(x)~}$的实数和虚数部分。