插值

片段常數(或稱為最近鄰)插值

最簡單的插值方法是找到最近的數據值，並分配相同的值。這種方法又稱為最近鄰插值。在簡單的問題中，不太可能使用這種方法，因為線性插值（見下一小節）幾乎一樣容易，但在高維度的多變量插值中，這可能是衡量速度和簡單性的有利選擇。

以線性插值疊加數據的繪圖

考慮上面估計 f(2.5) 的例子。由於 2.5 在 2 和 3 之間，所以在 f(2) = 0.9093 和 f(3) = 0.1411 之間，取中間的 f(2.5) 是合理的，得到 0.5252。 一般來說，線性插值採用兩個數據點，例如 (x_a,y_a) 和 (x_b,y_b)，

則線性插值的公式為

${\displaystyle y=y_{a}+\left(y_{b}-y_{a}\right){\frac {x-x_{a}}{x_{b}-x_{a}}}{\text{ 在 點 }}\left(x,y\right)}$

${\displaystyle {\frac {y-y_{a}}{y_{b}-y_{a}}}={\frac {x-x_{a}}{x_{b}-x_{a}}}}$

${\displaystyle {\frac {y-y_{a}}{x-x_{a}}}={\frac {y_{b}-y_{a}}{x_{b}-x_{a}}}}$

上面公式中的方程式表明，${\displaystyle (x_{a},y_{a})}$和 ${\displaystyle (x,y)}$ 的斜率，與 ${\displaystyle (x_{a},y_{a})}$ 和 ${\displaystyle (x_{b},y_{b})}$ 之間的斜率相同，線性插值是快速簡單的，但不是很精確。另一個缺點是在插值點 x_k 不是可微分的。

以下誤差估計顯示線性插值不是很精確。用 g 表示我們要插入的函數，假設 x 位於 x_a 和 x_b，而 g 是連續可微的。那麼線性插值的誤差是

${\displaystyle |f(x)-g(x)|\leq C(x_{b}-x_{a})^{2}\quad {\text{where}}\quad C={\frac {1}{8}}\max _{r\in [x_{a},x_{b}]}|g''(r)|.}$

換言之，誤差與數據點之間的距離的平方成正比。包括多項式插值和样條插值（見下一小節）在內的其他一些方法中的誤差與數據點之間距離的較高冪成正比。這些方法也產生更平滑的插值。

对数据使用多项式插值得到的图像

多項式插值是線性插值的推廣。線性插值是一個線性函數。我們現在用一個更高階的多項式代替這個插值。 再考慮一下上面給出的問題。以下的六次多項式經歷了所有七個點：

${\displaystyle f(x)=-0.0001521x^{6}-0.003130x^{5}+0.07321x^{4}-0.3577x^{3}+0.2255x^{2}+0.9038x.}$

代入 x = 2.5，我們發現 f(2.5) = 0.5965。 一般情況下，如果我們有 n 個數據點，那麼在所有的數據點中只有一個最多 n-1 次多項式。插值誤差與數據點與冪次 n 之間的距離成正比。此外，插值是一個多項式，因此是無限可微的。所以我們看到多項式插值克服了線性插值的大部分問題。但是，多項式插值也有一些缺點。與線性內插相比，計算內插多項式的成本是昂貴的（參見計算複雜度）。此外，多項式插值可能會出現振盪偽像，特別是在端點（見龍格現象）。

與線性插值不同，多項式插值可以估計樣本範圍之外的局部最大值和最小值。例如，上面的插值在 x ≈ 1.566 處有一個局部最大值，f(x) ≈ 1.003，在 x ≈ 4.708 處有一個局部最小值，f(x) ≈ −1.003。然而，這些最大值和最小值可能會超出函數的理論範圍 - 例如，一個總是正的函數可能有一個負值的插值，因此它的逆值包含假垂直漸近線。

更一般地說，所得曲線的形狀，特別是對於獨立變量的非常高或低的值，可能與常識相反，即與已經產生數據點的實驗系統已知的情況相反。通過使用樣條插值或限制對切比雪夫多项式的注意可以減少這些缺點。

对数据使用样条插值得到的图像

線性插值對每個區間 [x_k,x_k+1] 使用線性函數。 樣條插值在每個間隔中使用低階多項式，並選擇多項式以使它們平滑地吻合在一起。 結果函數被稱為樣條曲線。 例如，三次样条是分片段立方，兩次連續可微。 此外，它的二階導數在終點為零。 在上表中插入點的三次樣條函數由下式給出

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}-0.1522x^{3}+0.9937x,&{\text{if }}x\in [0,1],\\-0.01258x^{3}-0.4189x^{2}+1.4126x-0.1396,&{\text{if }}x\in [1,2],\\0.1403x^{3}-1.3359x^{2}+3.2467x-1.3623,&{\text{if }}x\in [2,3],\\0.1579x^{3}-1.4945x^{2}+3.7225x-1.8381,&{\text{if }}x\in [3,4],\\0.05375x^{3}-0.2450x^{2}-1.2756x+4.8259,&{\text{if }}x\in [4,5],\\-0.1871x^{3}+3.3673x^{2}-19.3370x+34.9282,&{\text{if }}x\in [5,6].\end{cases}}}$

在這種情況下，我們得到 f(2.5) = 0.5972。 與多項式插值的方法相比較，樣條跟多項式一樣，其插值誤差會小於線性插值，而且插值更平滑；使用樣條會比使用高階多項式更容易評估。 它也不會受到龍格現象的影響。