撓子群

在群論中，一個阿貝爾群 ${\displaystyle A}$ 的撓子群定義為

${\displaystyle A_{T}:=\{a\in A:\exists n\in \mathbb {N} ,\;na=0\}}$

換言之，即 ${\displaystyle A}$ 中的有限階元素。根據 ${\displaystyle A}$ 的交換性可知其為子群，此群有時也記為 ${\displaystyle \mathrm {Tor} (A)}$。

同理，對任一素數 ${\displaystyle p}$，可定義 ${\displaystyle p}$-撓子群：

${\displaystyle A_{T_{p}}:=\{a\in A:\exists n\in \mathbb {N} ,\;p^{n}a=0\}}$

撓子群可以表為 ${\displaystyle p}$-撓子群之直和：${\displaystyle A_{T}=\bigoplus _{p}A_{T_{p}}}$。若 ${\displaystyle A}$ 為有限群，則 ${\displaystyle A_{T_{p}}}$ 是其唯一的 ${\displaystyle p}$-西洛子群。

滿足 ${\displaystyle A_{T}=A}$ 的阿貝爾群稱作撓群或週期群。若滿足 ${\displaystyle A_{T}=(0)}$，則稱之為無撓群。${\displaystyle A/A_{T}}$ 必無撓。

對於有限生成的阿貝爾群 ${\displaystyle A}$，${\displaystyle A_{T}}$ 為其直和項，即：存在另一子群（未必唯一）${\displaystyle B\subset A}$ 使得 ${\displaystyle A=A_{T}\oplus B}$。