扩散方程

扩散方程是一类偏微分方程，用来描述扩散现象中的物质密度的变化。通常也用来和扩散类似的现象，例如在群体遗传学中等位基因在群体中的扩散。

扩散方程通常写作：

${\displaystyle {\frac {\partial \phi ({\vec {r}},t)}{\partial t}}=\nabla \cdot {\bigg (}D(\phi ,{\vec {r}})\,\nabla \phi ({\vec {r}},t){\bigg )},}$

其中 ${\displaystyle \,\phi ({\vec {r}},t)}$ 是扩散中的物质在${\displaystyle t}$时刻，位于${\displaystyle {\vec {r}}}$处的密度；${\displaystyle \,D(\phi ,{\vec {r}})}$是密度${\displaystyle \phi }$在${\displaystyle {\vec {r}}}$处的扩散系数。

如果扩散系数依赖于密度那么方程是非线性的，否则是线性的。如果${\displaystyle \,D}$是常数，那么方程退化为下面的线性方程（热传导方程）：

${\displaystyle {\frac {\partial \phi ({\vec {r}},t)}{\partial t}}=D\nabla ^{2}\phi ({\vec {r}},t),}$

更一般的，当D是对称正定矩阵时，方程描述的是各向异性扩散。此时方程的三维形式是：

${\displaystyle {\frac {\partial \phi ({\vec {r}},t)}{\partial t}}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left(D_{ij}(\phi ,{\vec {r}}){\frac {\partial \phi ({\vec {r}},t)}{\partial x_{j}}}\right)}$