連續性方程式

一般的連續性方程式的微分形式為

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {f} =s}$ ；

其中，${\displaystyle \varphi }$ 是某物理量 ${\displaystyle q}$ 的密度（每單位體積的物理量），${\displaystyle \mathbf {f} }$ 是 ${\displaystyle q}$ 的流量密度（每單位面積每單位時間的物理量）的向量函數（），${\displaystyle s}$ 是 ${\displaystyle q}$ 在每單位體積每單位時間的生成量。

假若 ${\displaystyle s>0}$ 則稱 ${\displaystyle s}$ 為「源點」；假若 ${\displaystyle s<0}$ 則稱 ${\displaystyle s}$ 為「匯點」。假設 ${\displaystyle \varphi }$ 是没有产生或湮滅的守恆量，（例如，電荷），則 ${\displaystyle s=0}$ ，連續性方程式變為

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {f} =0}$ 。

從簡單的「能量連續性方程式」到複雜的納維-斯托克斯方程式，這方程式可以用來表示任意連續性方程式。该方程式也是平流方程式（）的推廣。

另一些物理學中的方程式也具有類似連續性方程式的數學形式，例如電場的高斯定律或引力场的高斯重力定律。但是他们通常不被稱為連續性方程式，因為 ${\displaystyle \mathbf {f} }$ 並不代表真實物理量的流動。

在連續性方程式的積分形式裏，${\displaystyle \mathbb {S} }$ 是包住體積 ${\displaystyle \mathbb {V} }$ 的任意閉曲面。如同圖內左邊的曲面（以藍色顯示），${\displaystyle \mathbb {S} }$ 沒有邊界；而圖內右邊的曲面都有邊界（以紅色顯示）。

根據散度定理，連續性方程式可以寫為等價的積分形式：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}+\oint _{\mathbb {S} }\mathbf {f} \cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =S}$ ；

其中，${\displaystyle \mathbb {S} }$ 是包住體積 ${\displaystyle \mathbb {V} }$ 的任意固定（不隨時間改變）閉曲面，${\displaystyle Q}$ 是在體積 ${\displaystyle \mathbb {V} }$ 內的 ${\displaystyle q}$ 總量，${\displaystyle S=\int _{\mathbb {V} }s\ \mathrm {d} ^{3}r}$ 是在積分體積 ${\displaystyle \mathbb {V} }$ 內源點與匯點的總生成量每單位時間，${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {a} }$ 是微小面向量積分元素。

舉一簡例，假設 ${\displaystyle \mathbb {V} }$ 是台北101大樓，${\displaystyle Q}$ 是在大樓內某時間的總人數，${\displaystyle \mathbb {S} }$ 是由門口、牆壁、屋頂、地基等等，共同組成的曲面，則連續性方程式表明，當人們進入大樓時（代表穿過曲面的內向通量），或當大樓裏面的孕婦生產時（代表源點的 ${\displaystyle s>0}$ ），在大樓裏面的總人數會增加；而當人們離開大樓時（代表穿過曲面的外向通量），在大樓裏面的總人數會減少。

馬克士威-安培方程式為

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\ \epsilon _{0}{\frac {\partial E}{\partial t}}}$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {B} }$ 是磁場，${\displaystyle \mathbf {E} }$ 是電場，${\displaystyle \mu _{0}}$ 是磁常數，${\displaystyle \epsilon _{0}}$ 是電常數。

取散度於方程式的兩邊，由於旋度的散度必是零，

${\displaystyle 0=\mu _{0}\nabla \cdot \mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial (\nabla \cdot \mathbf {E} )}{\partial t}}}$ 。

高斯定律的方程式為

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\rho /\epsilon _{0}}$ 。

將這方程式代入，可以得到

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0}$。

電流是電荷的流量。連續性方程式可以這樣論述：假若電荷從某微小體積元素移動出去（電流密度的散度是正值），則在那微小體積元素內的總電荷量會減少，電荷密度的變率是負值。從這解釋可以察覺，連續性方程式就是電荷守恆。

四維電流密度定義為

${\displaystyle J^{\alpha }\ {\stackrel {def}{=}}\ (c\rho ,\mathbf {J} )=(c\rho ,J_{x},J_{y},J_{z})}$ ；

其中，${\displaystyle \alpha }$ 標記時空坐標，${\displaystyle c}$ 是光速。

電荷守恆可以簡潔地由四維電流密度的散度表達，即連續性方程式

${\displaystyle \partial _{\alpha }J^{\alpha }=0}$ ；

其中，${\displaystyle \partial _{\alpha }\ {\stackrel {def}{=}}\ \left({\frac {\partial }{\partial r^{0}}},{\frac {\partial }{\partial r^{1}}},{\frac {\partial }{\partial r^{2}}},{\frac {\partial }{\partial r^{3}}}\right)=\left({\frac {\partial }{c\partial t}},{\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)}$ 。

機率流滿足量子力學的連續方程式：

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} =0}$ ；

其中，${\displaystyle \rho =|\Psi |^{2}}$ 是機率密度。

應用高斯公式，可以等價地以積分方程式表示，

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\mathbb {V} }|\Psi |^{2}\mathrm {d} ^{3}{r}+\oint _{\mathbb {S} }\mathbf {J} \cdot {\mathrm {d} \mathbf {a} }=0}$ ；(1)

其中，${\displaystyle \mathbb {V} }$ 是任意三維區域，${\displaystyle \mathbb {S} }$ 是 ${\displaystyle \mathbb {V} }$ 的邊界曲面。

方程式 (1) 左邊第一個體積積分項（不包括對於時間的偏微分）是測量粒子位置時粒子在 ${\displaystyle \mathbb {V} }$ 內的機率。第二個曲面積分是機率流出 ${\displaystyle \mathbb {V} }$ 的通量。總之，方程式 (1) 表明，粒子在三維區域 ${\displaystyle \mathbb {V} }$ 內的機率對於時間的微分，与其流出三維區域的機率 ${\displaystyle \mathbb {V} }$ 的通量，兩者之和等於零。

測得粒子在三維區域 ${\displaystyle \mathbb {V} }$ 內的機率 ${\displaystyle P}$ 是

${\displaystyle P=\int _{\mathbb {V} }\rho \,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\int _{\mathbb {V} }|\Psi |^{2}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} }$ 。

機率對於時間的導數是

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\mathbb {V} }|\Psi |^{2}\,\mathrm {d} ^{3}{r}=\int _{\mathbb {V} }\left({\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\Psi ^{*}+\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}\right)\,\mathrm {d} ^{3}{r}}$ ；(2)

注意到 ${\displaystyle \Psi }$ 的含時薛丁格方程式為

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi }$ ；

其中，${\displaystyle U(\mathbf {r} )}$ 是位勢。

將含時薛丁格方程式代入方程式 (2) ，可以得到

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} t}}=-\int _{\mathbb {V} }{\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi -\Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}\right)\,\mathrm {d} ^{3}{r}}$ 。

應用一則向量恆等式，可以得到

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left(\Psi ^{*}{\boldsymbol {\nabla }}\Psi -\Psi {\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{*}\right)={\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{*}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\Psi +\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi -{\boldsymbol {\nabla }}\Psi \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{*}-\Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}}$ 。

這方程式右手邊第一項與第三項互相抵銷，將抵銷後的方程式代入，

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} t}}=-\int _{\mathbb {V} }{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left[{\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\boldsymbol {\nabla }}\Psi -\Psi {\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{*}\right)\right]\,\mathrm {d} ^{3}{r}}$ 。

將機率密度方程式與機率流定義式代入，

${\displaystyle \int _{\mathbb {V} }{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,\mathrm {d} ^{3}{r}=-\int _{\mathbb {V} }\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} \right)\,\mathrm {d} ^{3}{r}}$ 。

该等式對於任意三維區域 ${\displaystyle \mathbb {V} }$ 都成立，所以被積項目在任何位置都必須等於零：

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} =0}$ 。