整性

以下所論的環皆為含單位元的交換環。

設有環A、B，A為B的子環。设t∈B。若存在以A中元素为系数的首一多項式P∈A[X]，使得P(t) = 0，則稱t是A上的整元素。如果B的每個元素都是A上的整元素，則稱B為A的整擴張。

假設同上。環的乘法與加法運算賦予 ${\displaystyle B}$ 自然的 ${\displaystyle A}$-模結構。對於一個元素 ${\displaystyle b\in B}$，下述條件彼此等價：

1. ${\displaystyle b}$ 在 ${\displaystyle A}$ 為整。
2. 子環 ${\displaystyle A[b]}$ 是有限生成的 ${\displaystyle A}$-模。
3. 存在包含 ${\displaystyle A\cup \{b\}}$ 的子環 ${\displaystyle C\subset B}$，而且 ${\displaystyle C}$ 是有限生成的 ${\displaystyle A}$-模。

此命題最常見的證明是利用關於行列式的凱萊-哈密頓定理。

• （整閉包）利用有限性的刻劃，可知 ${\displaystyle A}$ 上的整元構成 ${\displaystyle B}$ 的子環，稱為 ${\displaystyle A}$ 在 ${\displaystyle B}$ 中的整閉包。
• （可遞性）考慮環擴張 ${\displaystyle A\subset B\subset C}$，若 ${\displaystyle B}$ 是 ${\displaystyle A}$ 的整擴張，而 ${\displaystyle c\in C}$ 在 ${\displaystyle B}$ 上為整，則它在 ${\displaystyle A}$ 上為整。特別是：若 ${\displaystyle B/A}$、${\displaystyle C/B}$ 皆為整擴張，則 ${\displaystyle C/A}$ 亦然。

在整性的定義中，子環條件 ${\displaystyle A\subset B}$ 可以放寬為一個同態 ${\displaystyle f:A\to B}$，${\displaystyle b\in B}$ 在 ${\displaystyle A}$ 上的整性定義為它對同態像 ${\displaystyle f(A)}$ 的整性，整擴張的定義可以類似地推廣。透過同態 ${\displaystyle f:A\to B}$，同樣可賦予 ${\displaystyle B}$ 一個 ${\displaystyle A}$-模結構，此時有限性判準依然成立。

• Atiyah, M. F., and I. G. MacDonald, Introduction to Commutative Algebra, Perseus Books, 1969, ISBN 0-201-00361-9