斜率

在数学上，直线的斜率（slope）或称梯度（gradient），是描述与度量该线“方向”和“陡度”的数字，常用 $m$ 表示；斜率也用來计算斜坡的“斜度”（傾斜程度）。透過代數和幾何能計算出直線的斜率。

斜率：

m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\tan(\theta )

，

\theta

是傾角

一直線的斜率在其上任一點皆相等；一曲線的斜率在其上任一點则不定，由該點切線的斜率而決定。曲線上某點的切線斜率，反映此曲線的變數在此點的變化快慢程度。透過微積分可計算出曲線中任一點的切線斜率，直线斜率的概念等同土木工程和地理的坡度。

另一個相關概念是傾角（angle of inclination）或斜角，即直線與水平軸（ $x$ 軸）所夾的最小角，以 $\theta$ 表示， $-90^{\circ }<\theta \leq 90^{\circ }$ 。傾角 $\theta$ 的正切函數值為直線的斜率，即 $m=\tan(\theta )$ ；而 $\theta =\arctan(m)$ ， $\arctan$ 是反正切函數。

定义

對於直角坐標系，一次函数： $y=kx+b$ ，若 $k$ 、 $b$ 均不为0，則可說 $k$ 是斜率， $b$ 是截距。

若橫軸為 $x$ 軸，縱軸是 $y$ 軸，斜率 $m$ 可表示为：

m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}

　(

\Delta

：變數的改變)

若已知道直角坐标系内两点 $(x_{1},y_{1})$ 和 $(x_{2},y_{2})$ ，则斜率 $m$ 可表示为：

m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}

垂直线的斜率是未定义的，因为此时 $\Delta x=0$ （即分母为 0）。

运算

点斜式

如已知點 $\left(x_{0},y_{0}\right)$ 斜率為 $m$ 的直線方程式時，即可使用此方法。

y-y_{0}=m\left(x-x_{0}\right)

截距式

若已知某直线在 $x$ 轴、 $y$ 轴上的截距分别为 $a$ , $b$ ，则该直线的方程可以表示为：

${\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1$

两点式

如已知 $\left(x_{1},y_{1}\right)$ 、 $\left(x_{2},y_{2}\right)$ 相異兩點 $x_{1}$ ≠ $x_{2}$ ， $y-y_{1}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\left(x-x_{1}\right)$

②若

x_{1}=x_{2}

，

x=x_{1}

原理：兩個相似的直角三角形

斜截式

如已知斜率 $m$ ， $y$ 截距為 $b$ ，則直線的方程式是

y=mx+b.

若 $x$ 截距為 $a$ ，則是 $y=m(x-a).$

參見

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