斯梅爾悖論

差拓扑结构中，球面外翻（Sphere eversion）是指在三维空间中，將球面從內向外翻。值得注意的是，我們有辦法在不割開、撕裂或製造摺痕的前提下，連續且光滑地將球面由內向外翻（有可能產生自交）。 這對非数学家甚至是瞭解定期同伦的人來說都十分意外，并可以被视为一种真詭論：乍看下是假，實際上為真。

一 Morin曲面的俯視圖

更準確地说，令

${\displaystyle f\colon S^{2}\to \mathbb {R} ^{3}}$

為标准嵌入，則有一个定期同伦的浸入

${\displaystyle f_{t}\colon S^{2}\to \mathbb {R} ^{3}}$

使得ƒ₀ = ƒ 且 ƒ₁ = −ƒ。