無窮小量

• 窮竭法
• 無窮乘積
• 牛頓的流數法
• 萊布尼茲的「${\displaystyle \mathrm {d} x}$」記號
• 歐拉對級數的處理
• 一致收斂
• 嚴格的極限概念
• 非標準分析

設${\displaystyle a=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$，${\displaystyle b=(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$為兩個序列，而且都是${\displaystyle n\to \infty }$時的無窮小量。雖然它們在${\displaystyle n}$趨於無窮時都趨於零，但趨於零的速度是有區別的。可以用如下方式比較它們的速度：

• 若對於任意正實數${\displaystyle \displaystyle c>0}$，存在正整數${\displaystyle \displaystyle N}$使得

${\displaystyle a_{k}<c\cdot b_{k}}$

在${\displaystyle \displaystyle k>N}$時總是成立，則稱${\displaystyle \displaystyle a}$是${\displaystyle \displaystyle b}$的高階無窮小[參⁠ 8]，記作

${\displaystyle \displaystyle a_{n}=o(b_{n})\quad (n\to \infty )}$

其中的${\displaystyle n\to \infty }$有時也被省略不寫。

在上述定義中，也可以說無窮小量${\displaystyle a}$的階要比${\displaystyle b}$的要高，或者說${\displaystyle a}$比${\displaystyle b}$更快地趨於零，儘管在此時「階」或者「速度」本身其實都没有明確的定義。

1. 若${\displaystyle \{a_{n}\}}$是无穷小量，改变${\displaystyle \{a_{n}\}}$中的某有限项之后，它仍是无穷小量。
2. 若${\displaystyle \{a_{n}\}}$、${\displaystyle \{b_{n}\}}$都是无穷小量，${\displaystyle \{a_{n}+b_{n}\},\{a_{n}-b_{n}\}}$也是无穷小量。
3. 若${\displaystyle \{a_{n}\}}$是无穷小量，${\displaystyle \{b_{n}\}}$是有界数列，则${\displaystyle \{a_{n}b_{n}\}}$也是无穷小量。
4. 若${\displaystyle \{a_{n}\}}$是无穷小量，${\displaystyle |b_{n}|\leq |a_{n}|}$，则${\displaystyle \{b_{n}\}}$也是无穷小量。
5. 若${\displaystyle \{a_{n}\}}$是无穷小量，从${\displaystyle \{a_{n}\}}$中取出无穷多的一部分，按原来的次序排成的数列（这叫做${\displaystyle \{a_{n}\}}$的子列）也是无穷小量。
6. 把${\displaystyle \{a_{n}\}}$的次序打乱重新得到的数列${\displaystyle \{b_{n}\}}$。若${\displaystyle \{a_{n}\}}$是无穷小量，则${\displaystyle \{b_{n}\}}$也是无穷小量。
7. 无穷小量是有界列。
8. 若${\displaystyle \{a_{n}\}}$的各项相等，${\displaystyle \{a_{n}\}}$是无穷小量则必有${\displaystyle a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n}=\cdots =0}$。

在把擴充實數系使其能包含無窮大量和無窮小量時，人們希望能夠盡量保持原系統的各種基本的性質[註⁠ 5]，這樣的好處是，那些使用基本性質證明過的命題能夠在新的系統裡自動成立。這裡的「基本」通常是指不對集合使用量詞，但可以對集合的元素使用（有限次），比如以下公理「對任意的x，x+0=x」仍然應該成立；使用兩次也行：「對任意的x和y，xy=yx」，而如果出現「對任意集合S」則不能算基本性質，在新系統中可能不成立，比如「任何形如{k∈Z|xk>y}都不是空集」就是一例（其實這就是阿基米德性質）。對命題量詞的這種限制，叫做一階邏輯。類似於阿基米德性質，實數集的完備性也不能在新的系統裡成立，因為實數集是唯一的完備有序域。