阿基米德公理

簡單地說，阿基米德性質可以認為以下二句敘述的任一句：

1. 給出任何數，你總能夠挑選出一個整數大過原來的數。
2. 給出任何正數，你總能夠挑選出一個整數其倒數小過原來的數。

這等價于說，對於任何正實數${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$，如果${\displaystyle a<b}$，則存在自然數${\displaystyle n}$，有

${\displaystyle \underbrace {a+\cdots +a} _{n{\text{ terms}}}>b}$

實數的完備性蘊含了阿基米德性質，證明利用了反證法：

假設對所有${\displaystyle n}$，${\displaystyle na<b}$（注意${\displaystyle na}$表示${\displaystyle n}$个${\displaystyle a}$相加），令${\displaystyle S=\{na|n=1,2,3,...\}}$，則${\displaystyle b}$爲${\displaystyle S}$的上界（${\displaystyle S}$上方有界，依實數完備性，必存在最小上界，令其為${\displaystyle \alpha }$），於是${\displaystyle \forall n=1,2,3,...}$有

${\displaystyle na<\alpha \Rightarrow (n+1)a<\alpha \Rightarrow na<\alpha -a}$

得出${\displaystyle \alpha -a}$也是${\displaystyle S}$的一個上界，這與${\displaystyle \alpha }$是最小上界矛盾。這樣就由實數的完備性推出了阿基米德性質，但阿基米德性質推不出實數的完備性，因為有理數滿足阿基米德性質，但並不是完備的。