无穷递降法

证明下列方程无正整数解:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=3\cdot (s^{2}+t^{2}),\,}$

证明:

假设该方程有正整数解。

设${\displaystyle a_{1},b_{1},s_{1},t_{1}}$为最小的解。即

${\displaystyle a_{1}^{2}+b_{1}^{2}=3\cdot (s_{1}^{2}+t_{1}^{2})}$

显然，${\displaystyle a_{1}}$和${\displaystyle b_{1}}$都必须能被3整除。设

${\displaystyle 3a_{2}=a_{1}\,}$及${\displaystyle 3b_{2}=b_{1}.\,}$

我们得到

${\displaystyle (3a_{2})^{2}+(3b_{2})^{2}=3\cdot (s_{1}^{2}+t_{1}^{2})}$

${\displaystyle 3(a_{2}^{2}+b_{2}^{2})=s_{1}^{2}+t_{1}^{2}.\,}$

这是更小的解，与${\displaystyle a_{1},b_{1},s_{1},t_{1}}$的最小性相矛盾。所以，原方程无正整数解。

假設${\displaystyle {\sqrt {2}}}$是有理數，即${\displaystyle p^{2}=2q^{2}}$有正整數解。
令${\displaystyle (p,q)}$是此方程的最小解
易知${\displaystyle p}$是偶數，從得${\displaystyle q}$是偶數
⇒${\displaystyle (p/2,q/2)<(p,q)}$
和${\displaystyle (p,q)}$是此方程的最小解矛盾，故無正整數解
⇒從得${\displaystyle {\sqrt {2}}}$是無理數