最大似然估计

• 这裡的似然函数是指${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$不变时，关于${\displaystyle \theta }$的一个函数。
• 最大似然估计不一定存在，也不一定唯一。

最大似然估计可以从相对熵推导而来。相对熵衡量了使用一个给定分布${\displaystyle Q}$来近似另一个分布${\displaystyle P}$时的信息损失，对于离散型随机变量，可以用以下公式：

${\displaystyle D_{\text{KL}}(P||Q)=\sum _{i}P(i)\log {\frac {P(i)}{Q(i)}}}$

其中，${\displaystyle P}$是真实分布，${\displaystyle Q}$是近似分布。在最大似然估计的情景下，假设分布拥有一系列参数${\displaystyle \theta }$，我们希望通过样本得到参数的估计值${\displaystyle {\hat {\theta }}}$。我们可以利用相对熵来评判估计的好坏：

${\displaystyle D_{\text{KL}}(p_{\theta }(x)||p_{\hat {\theta }}(x))=\sum _{x\in E}p_{\theta }(x)\log {\frac {p_{\theta }(x)}{p_{\hat {\theta }}(x)}}}$

根据期望的定义，我们可以将上式改写为：

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{\text{KL}}(p_{\theta }(x)||p_{\hat {\theta }}(x))&=\mathbb {E} _{\theta }\left[\log \left({\frac {p_{\theta }(x)}{p_{\hat {\theta }}(x)}}\right)\right]\\&=\mathbb {E} _{\theta }[\log p_{\theta }(x)]-\mathbb {E} _{\theta }[\log p_{\hat {\theta }}(x)]\end{aligned}}}$

KL值越大，参数估计越坏，因此，需要通过改变估计参数${\displaystyle {\hat {\theta }}}$的值来获得最小的值，所对应的参数极为最佳估计参数。即：

${\displaystyle {\hat {\theta }}_{\text{best}}=\arg \min _{\hat {\theta }}D_{\text{KL}}(p_{\theta }(x)||p_{\hat {\theta }}(x))}$

假设有${\displaystyle n}$个样本，根据大数定理，可以进行替换：

${\displaystyle \mathbb {E} _{\theta }[\log p_{\hat {\theta }}(x)]\rightsquigarrow {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\log p_{\hat {\theta }}(x)}$

即，可以通过下式评估：

${\displaystyle D_{\text{KL}}(p_{\theta }(x)||p_{\hat {\theta }}(x))=\mathbb {E} _{\theta }[\log p_{\theta }(x)]-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\log p_{\hat {\theta }}(x_{i})}$

对于一个已知的分布，其参数${\displaystyle \theta }$是确定的。因此，${\displaystyle \mathbb {E} _{\theta }[\log p_{\theta }(x)]}$为常数。因此，我们可以通过最小化KL值获得最佳估计参数：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\theta }}&=\arg \min _{\hat {\theta }}\mathbb {E} _{\theta }[\log p_{\theta }(X)]-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\log p_{\hat {\theta }}(x_{i})\\&\Rightarrow \arg \min _{\hat {\theta }}-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\log p_{\hat {\theta }}(x_{i})\\&\Rightarrow \arg \max _{\hat {\theta }}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\log p_{\hat {\theta }}(x_{i})\\&\Rightarrow \arg \max _{\hat {\theta }}\sum _{i=1}^{n}\log p_{\hat {\theta }}(x_{i})\\&\Rightarrow \arg \max _{\hat {\theta }}\log \left[\prod _{i=1}^{n}p_{\hat {\theta }}(x_{i})\right]\\&\Rightarrow \arg \max _{\hat {\theta }}\prod _{i=1}^{n}p_{\hat {\theta }}(x_{i})\\\end{aligned}}}$

因此，要得到最佳参数估计值，只需要最大化${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}p_{\hat {\theta }}(x_{i})}$，这就是最大似然函数。对于连续型随机变量，有相同的结论。

考虑一个抛硬币的例子。假设这个硬币正面跟反面轻重不同。我们把这个硬币抛80次（即，我们获取一个采样${\displaystyle x_{1}={\mbox{H}},x_{2}={\mbox{T}},\ldots ,x_{80}={\mbox{T}}}$并把正面的次数记下来，正面记为H，反面记为T）。并把抛出一个正面的概率记为${\displaystyle p}$，抛出一个反面的概率记为${\displaystyle 1-p}$（因此，这裡的${\displaystyle p}$即相当于上边的${\displaystyle \theta }$）。假设我们抛出了49个正面，31个反面，即49次H，31次T。假设这个硬币是我们从一个装了三个硬币的盒子里头取出的。这三个硬币抛出正面的概率分别为${\displaystyle p=1/3}$, ${\displaystyle p=1/2}$, ${\displaystyle p=2/3}$，这些硬币没有标记，所以我们无法知道哪个是哪个。使用最大似然估计，基于二项分布中的概率质量函数公式，通过这些试验数据（即采样数据），我们可以计算出哪个硬币的可能性最大。这个似然函数取以下三个值中的一个：

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbb {L} (p=1/3\mid {\mbox{H=49, T=31 }})&=&\mathbb {P} ({\mbox{H=49, T=31 }}\mid p=1/3)&=&{80 \choose 49}(1/3)^{49}(1-1/3)^{31}\approx 0.000\\&&\\\mathbb {L} (p=1/2\mid {\mbox{H=49, T=31 }})&=&\mathbb {P} ({\mbox{H=49, T=31 }}\mid p=1/2)&=&{80 \choose 49}(1/2)^{49}(1-1/2)^{31}\approx 0.012\\&&\\\mathbb {L} (p=2/3\mid {\mbox{H=49, T=31 }})&=&\mathbb {P} ({\mbox{H=49, T=31 }}\mid p=2/3)&=&{80 \choose 49}(2/3)^{49}(1-2/3)^{31}\approx 0.054\\\end{matrix}}}$

我们可以看到当${\displaystyle {\widehat {p}}=2/3}$时，似然函数取得最大值。
顯然地，這硬幣的公平性和那種拋出後正面的機率是2/3的硬幣是最接近的。这就是${\displaystyle p}$的最大似然估计。

现在假设例子1中的盒子中有无数个硬币，对于${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$中的任何一个${\displaystyle p}$， 都有一个抛出正面概率为${\displaystyle p}$的硬币对应，我们来求其似然函数的最大值：

${\displaystyle {\begin{matrix}{\mbox{L}}(\theta )&=&f_{D}({\mbox{H=49,T=80-49}}\mid p)={80 \choose 49}p^{49}(1-p)^{31}\\\end{matrix}}}$

其中${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$. 我们可以使用微分法来求極值。方程两边同时对${\displaystyle p}$取微分，并使其为零。

${\displaystyle {\begin{matrix}0&=&{80 \choose 49}{\frac {d}{dp}}\left(p^{49}(1-p)^{31}\right)\\&&\\&\propto &49p^{48}(1-p)^{31}-31p^{49}(1-p)^{30}\\&&\\&=&p^{48}(1-p)^{30}\left[49(1-p)-31p\right]\\\end{matrix}}}$

在不同比例参数值下一个二项式过程的可能性曲线t = 3, n = 10；其最大似然估计值发生在其众数并在曲线的最大值处。

其解为${\displaystyle p=0}$, ${\displaystyle p=1}$，以及${\displaystyle p=49/80}$.使可能性最大的解显然是${\displaystyle p=49/80}$（因为${\displaystyle p=0}$和${\displaystyle p=1}$这两个解会使可能性为零）。因此我们说最大似然估计值为${\displaystyle {\widehat {p}}=49/80}$.

这个结果很容易一般化。只需要用一个字母${\displaystyle t}$代替49用以表达伯努利试验中的被观察数据（即样本）的“成功”次数，用另一个字母${\displaystyle n}$代表伯努利试验的次数即可。使用完全同样的方法即可以得到最大似然估计值:

${\displaystyle {\widehat {p}}={\frac {t}{n}}}$

对于任何成功次数为${\displaystyle t}$，试验总数为${\displaystyle n}$的伯努利试验。

最常见的连续概率分布是正态分布，其概率密度函数如下：

${\displaystyle f(x\mid \mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$

现在有${\displaystyle n}$个正态随机变量的采样点，要求的是一个这样的正态分布，这些采样点分布到这个正态分布可能性最大（也就是概率密度积最大，每个点更靠近中心点），其${\displaystyle n}$个正态随机变量的采样的对应密度函数（假设其独立并服从同一分布）为：

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n}\mid \mu ,\sigma ^{2})=\left({\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\right)^{\frac {n}{2}}e^{-{\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$

也可以写为：

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n}\mid \mu ,\sigma ^{2})=\left({\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\right)^{n/2}\exp \left(-{\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+n({\bar {x}}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}$,

这个分布有两个参数：${\displaystyle \mu ,\sigma ^{2}}$.有人可能会担心两个参数与上边的讨论的例子不同，上边的例子都只是在一个参数上对可能性进行最大化。实际上，在两个参数上的求最大值的方法也差不多：只需要分别把可能性${\displaystyle {\mbox{L}}(\mu ,\sigma )=f(x_{1},,\ldots ,x_{n}\mid \mu ,\sigma ^{2})}$在两个参数上最大化即可。当然这比一个参数麻烦一些，但是一点也不复杂。使用上边例子同样的符号，我们有${\displaystyle \theta =(\mu ,\sigma ^{2})}$.

最大化一个似然函数同最大化它的自然对数是等价的。因为自然对数log是一个连续且在似然函数的值域内严格递增的上凹函数。[注意：可能性函数（似然函数）的自然对数跟信息熵以及Fisher信息联系紧密。]求对数通常能够一定程度上简化运算，比如在这个例子中可以看到：

${\displaystyle {\begin{aligned}0&={\cfrac {\partial }{\partial \mu }}\log \left(\left({\cfrac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\right)^{\frac {n}{2}}e^{-{\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+n({\bar {x}}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\right)\\&={\cfrac {\partial }{\partial \mu }}\left(\log \left({\cfrac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\right)^{\frac {n}{2}}-{\cfrac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+n({\bar {x}}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\\&=0-{\cfrac {-2n({\bar {x}}-\mu )}{2\sigma ^{2}}}\end{aligned}}}$

这个方程的解是${\displaystyle {\widehat {\mu }}={\bar {x}}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}/n}$.这的确是这个函数的最大值，因为它是${\displaystyle \mu }$里头惟一的一阶导数等于零的点并且二阶导数严格小于零。

同理，我们对${\displaystyle \sigma }$求导，并使其为零。

${\displaystyle {\begin{aligned}0&={\cfrac {\partial }{\partial \sigma }}\log \left(\left({\cfrac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\right)^{\frac {n}{2}}e^{-{\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+n({\bar {x}}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\right)\\&={\cfrac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\cfrac {n}{2}}\log \left({\cfrac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\right)-{\cfrac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+n({\bar {x}}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\\&=-{\cfrac {n}{\sigma }}+{\cfrac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+n({\bar {x}}-\mu )^{2}}{\sigma ^{3}}}\end{aligned}}}$

这个方程的解是${\displaystyle {\widehat {\sigma }}^{2}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\widehat {\mu }})^{2}/n}$.

因此，其关于${\displaystyle \theta =(\mu ,\sigma ^{2})}$的最大似然估计为：

${\displaystyle {\widehat {\theta }}=({\widehat {\mu }},{\widehat {\sigma }}^{2})=({\bar {x}},\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}/n)}$.

如果${\displaystyle {\hat {\theta }}}$是${\displaystyle \theta }$的一个最大似然估计，那么${\displaystyle \alpha =g(\theta )}$的最大似然估计是${\displaystyle {\hat {\alpha }}=g({\hat {\theta }})}$。函数g无需是一个双射。[1]

最大似然估计函数在采样样本总数趋于无穷的时候达到最小方差，其证明可见于克拉馬－羅下限。当最大似然估计非偏时，等价的，在极限的情况下我们可以称其有最小的均方差。 对于独立的观察来说，最大似然估计函数经常趋于正态分布。

最大似然估计的偏差是非常重要的。考虑这样一个例子，标有${\displaystyle 1}$到${\displaystyle n}$的${\displaystyle n}$张票放在一个盒子中。从盒子中随机抽取票。如果${\displaystyle n}$是未知的话，那么${\displaystyle n}$的最大似然估计值就是抽出的票上标有的${\displaystyle n}$，尽管其期望值的只有${\displaystyle (n+1)/2}$.为了估计出最高的${\displaystyle n}$值，我们能确定的只能是${\displaystyle n}$值不小于抽出来的票上的值。