微分

函数在一点的微分。其中红线部分是微分量${\displaystyle {\textrm {d}}y}$，而${\displaystyle {\textrm {d}}y}$加上灰线部分后是实际的改变量${\displaystyle \Delta y}$

设函数${\displaystyle y=f(x)}$在某区间${\displaystyle {\mathcal {I}}}$内有定义。对于${\displaystyle {\mathcal {I}}}$内一点${\displaystyle x_{0}}$，当${\displaystyle x_{0}}$变动到附近的${\displaystyle x_{0}+\Delta x}$（也在此区间内）时，如果函数的增量${\displaystyle \Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}$可表示为 ${\displaystyle \Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)}$（其中${\displaystyle A}$是不依赖于${\displaystyle \Delta x}$的常数），而${\displaystyle o(\Delta x)}$是比${\displaystyle \Delta x}$高阶的无穷小，那么称函数${\displaystyle f(x)}$在点${\displaystyle x_{0}}$是可微的，且${\displaystyle A\Delta x}$称作函数在点${\displaystyle x_{0}}$相应于自变量增量${\displaystyle \Delta x}$的微分，记作${\displaystyle {\textrm {d}}y}$，即${\displaystyle {\textrm {d}}y=A\Delta x}$，${\displaystyle {\textrm {d}}y}$是${\displaystyle \Delta y}$的线性主部。[1]^:141

通常把自变量${\displaystyle x}$的增量${\displaystyle \Delta x}$称为自变量的微分，记作${\displaystyle {\textrm {d}}x}$，即${\displaystyle {\textrm {d}}x=\Delta x}$。

微分和导数是两个不同的概念。但是，对一元函数来说，可微与可导是完全等价的概念[1]^:141。可微的函数，其微分等于导数乘以自变量的微分${\displaystyle {\textrm {d}}x}$，换句话说，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。于是函数${\displaystyle y=f(x)}$的微分又可记作${\displaystyle {\textrm {d}}y=f'(x){\textrm {d}}x}$[2]。

设${\displaystyle \Delta x}$是曲线${\displaystyle y=f(x)}$上的点${\displaystyle P}$在横坐标上的增量，${\displaystyle \Delta y}$是曲线在点${\displaystyle P}$对应${\displaystyle \Delta x}$在纵坐标上的增量，${\displaystyle {\textrm {d}}y}$是曲线在点${\displaystyle P}$的切线对应${\displaystyle \Delta x}$在纵坐标上的增量。当${\displaystyle \left|\Delta x\right|}$很小时，${\displaystyle \left|\Delta y-{\textrm {d}}y\right|}$比${\displaystyle \left|\Delta x\right|}$要小得多(高阶无穷小)，因此在点${\displaystyle P}$附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。

设有函数${\displaystyle f:x\mapsto x^{2}}$，考虑它从某一点${\displaystyle x}$变到${\displaystyle x+{\textrm {d}}x}$。这时，函数的改变量${\displaystyle f(x+{\textrm {d}}x)-f(x)}$等于：

${\displaystyle f(x+{\textrm {d}}x)-f(x)=(x+{\textrm {d}}x)^{2}-x^{2}}$

${\displaystyle =2x\cdot {\textrm {d}}x+({\textrm {d}}x)^{2}=A{\textrm {d}}x+o({\textrm {d}}x)}$

其中的线性主部：${\displaystyle Adx=2xdx}$，高阶无穷小是${\displaystyle o({\textrm {d}}x)=({\textrm {d}}x)^{2}}$。 因此函数${\displaystyle \textstyle f}$在点${\displaystyle \textstyle x}$处的微分是${\displaystyle {\textrm {d}}y=2x{\textrm {d}}x}$。函数的微分与自变量的微分之商${\displaystyle {\frac {{\textrm {d}}y}{{\textrm {d}}x}}=2x=f^{\prime }(x)}$，等于函数的导数。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} (ax^{n})}{\mathrm {d} x}}}$，尤其${\displaystyle y=ax^{n}}$

${\displaystyle =nax^{(n-1)}}$

以下有一例子： 當方程式為${\displaystyle y=2x^{2}}$時，就會有以下的微分過程。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}}$

${\displaystyle ={\frac {\mathrm {d} 2x^{2}}{\mathrm {d} x}}}$

${\displaystyle =2\cdot 2x^{(2-1)}}$

${\displaystyle =4x}$

和求导一样，微分有类似的法则。例如，如果设函数${\displaystyle u}$、${\displaystyle v}$可微，那么：

• ${\displaystyle d(au+bv)=dau+dbv=adu+bdv}$
• ${\displaystyle d(uv)=udv+vdu}$
• ${\displaystyle d\left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {vdu-udv}{v^{2}}}}$
• 若函数${\displaystyle y(u)}$可导，那么${\displaystyle d[y(u)]=y'(u)du}$[1]^:139

设${\displaystyle f}$是从欧几里得空间Rⁿ（或者任意一个内积空间）中的一个开集${\displaystyle \Omega }$射到R^m的一个函数。对于${\displaystyle \Omega }$中的一点${\displaystyle x}$及其在${\displaystyle \Omega }$中的邻域${\displaystyle \Lambda }$中的点${\displaystyle x+h}$。如果存在线性映射${\displaystyle A}$使得对任意这样的${\displaystyle x+h}$,

${\displaystyle \lim _{h\to 0}\left({\frac {|f(x+h)-f(x)-A(h)|}{|h|}}\right)=0}$

那么称函数${\displaystyle f}$在点${\displaystyle x}$处可微。线性映射${\displaystyle A}$叫做${\displaystyle f}$在点${\displaystyle x}$处的微分，记作${\displaystyle {\textrm {d}}f_{x}}$。

如果${\displaystyle f}$在点${\displaystyle x}$处可微，那么它在该点处一定连续，而且在该点的微分只有一个。为了和偏导数区别，多元函数的微分也叫做全微分或全导数。

当函数在某个区域的每一点${\displaystyle x}$都有微分${\displaystyle {\textrm {d}}f_{x}}$时，可以考虑将${\displaystyle x}$映射到${\displaystyle {\textrm {d}}f_{x}}$的函数：

${\displaystyle {\textrm {d}}f:x\mapsto {\textrm {d}}f_{x}}$

这个函数一般称为微分函数[3]。

• 如果${\displaystyle f}$是线性映射，那么它在任意一点的微分都等于自身。
• 在Rⁿ（或定义了一组标准基的内积空间）裡，函数的全微分和偏导数间的关系可以通过雅可比矩阵刻画：

设${\displaystyle f}$是从Rⁿ射到R^m的函数，${\displaystyle f=(f_{1},f_{2},\cdots ,f_{m})}$，那么：

${\displaystyle {\textrm {d}}f_{x}=J_{f}(x)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}}$。

具体来说，对于一个改变量：${\displaystyle h=(h_{1},h_{2},\ldots ,h_{n})=\sum _{i=1}^{n}h_{i}e_{i}}$，微分值：

${\displaystyle {\textrm {d}}f_{x}(h)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}h_{1}\\\vdots \\h_{n}\end{pmatrix}}=\sum _{i=1}^{m}\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}h_{j}\right)e_{i}}$

• 可微的必要条件：如果函数${\displaystyle f}$在一点${\displaystyle x_{0}}$处可微，那么雅克比矩阵的每一个元素${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(x_{0})}$都存在，但反之不真[4]^:76。
• 可微的充分条件：如果函数${\displaystyle f}$在一点${\displaystyle x_{0}}$的雅克比矩阵的每一个元素${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(x_{0})}$都在${\displaystyle x_{0}}$连续，那么函数在这点处可微，但反之不真[4]^:77。

函数${\displaystyle f:(x,y)\mapsto \left(x^{2}+y^{2},(1-x^{2}-y^{2})x-y,x-(1-x^{2}-y^{2})y\right)}$是一个从${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$射到${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$的函数。它在某一点${\displaystyle (x,y)}$的雅可比矩阵为：

${\displaystyle J_{f}(x,y)={\begin{bmatrix}2x&2y\\1-3x^{2}-y^{2}&-2xy-1\\1+2xy&-1+x^{2}+3y^{2}\end{bmatrix}}}$

微分为：${\displaystyle {\textrm {d}}f_{(x,y)}:h\mapsto J_{f}(x,y)(h)}$，也就是：

${\displaystyle {\textrm {d}}f_{(x,y)}:h={\begin{pmatrix}h_{1}\\h_{2}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}2x&2y\\1-3x^{2}-y^{2}&-2xy-1\\1+2xy&-1+x^{2}+3y^{2}\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}h_{1}\\h_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2xh_{1}+2yh_{2}\\(1-3x^{2}-y^{2})h_{1}-(2xy+1)h_{2}\\(1+2xy)h_{1}-(1-x^{2}-3y^{2})h_{2}\end{pmatrix}}}$