最大流最小割定理

设 ${\displaystyle G=(V,E)}$ 为一个有向图，其中有一個起源点 ${\displaystyle s}$ 和一個超匯点 ${\displaystyle t}$，代表 ${\displaystyle s}$ 是所有流的源頭，${\displaystyle t}$ 是所有流的終點。这个图的每一条边都有一个容量 c : E → R⁺，记做 ${\displaystyle c_{uv}}$ 或者 ${\displaystyle c(u,v)}$，代表着能通过边 ${\displaystyle (u,v)}$ 的最大流量。

定义： 流量代表一种映射 ${\displaystyle f:E\rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$，记做${\displaystyle f_{uv}}$ 或者 ${\displaystyle f(u,v)}$，代表通过边 ${\displaystyle (u,v)}$ 的流量。每一条边所通过的流有以下两个限定条件：

1. 流量限制：${\displaystyle f_{uv}\leq c_{uv}\quad \forall \,(u,v)\in E.}$ 也就是说，一条边上的流量不可以超过它的容量。
2. 流量守恒：${\displaystyle \sum \nolimits _{\{u:(u,v)\in E\}}f_{uv}=\sum \nolimits _{\{w:(v,w)\in E\}}f_{vw}\quad \forall \,v\in V\setminus \{s,t\}.}$ 也就是说，除了源点和汇点以外，进入一个节点的流量等于流出这个节点的流量，节点内不能保存流。

规定在一个图中，流的值是

${\displaystyle |f|=\sum \nolimits _{v:(s,v)\in E}f_{sv}=\sum \nolimits _{v:(v,t)\in E}f_{vt}.}$

也就是说，一个图的流是自其源点流出的流量之和，也是向其汇点流入的流量之和。或者说，由源点向汇点移动多少内容，这个图的流就是多少。

最大流问题：计算${\displaystyle |f|}$的最大值，即从${\displaystyle s}$到${\displaystyle t}$的最大流量。

定义： s-t割 ${\displaystyle C=(S,T)}$ 将图 ${\displaystyle G}$ 完全劃分为两部分，使得 ${\displaystyle s\in S,t\in T,}$ 也就是一侧有源，一侧有汇。${\displaystyle C}$ 的割集 ${\displaystyle X_{C}}$ 是 ${\displaystyle \{(u,v)\in E\$ :\ u\in S,v\in T\}.} 也就是说，一条边当且仅当骑在这个划分方法上，一个节点位于划分出来的源侧，另一个位于汇侧，那么它包含在 ${\displaystyle X_{C}}$ 里。因此如果 ${\displaystyle C}$ 的割集是空集，或者我们把一个割集里的边全都从图中拿走，則 ${\displaystyle |f|=0}$。通俗地说，割集就是一个图的断面，而割则是划分断面的方法。

规定在一个图中，s-t割的容量是

${\displaystyle c(S,T)=\sum \nolimits _{(u,v)\in X_{C}}c_{uv}=\sum \nolimits _{(i,j)\in E}c_{ij}d_{ij},}$ 其中当 ${\displaystyle i\in S,j\in T}$ 时，${\displaystyle d_{ij}}$ 为 ${\displaystyle 1}$, 否则为 ${\displaystyle 0}$。

通俗地说，割的容量就是断面中所有边的总容量。

最小 s-t 割问题： 计算 ${\displaystyle c(S,T)}$ 的最小值。即找到一种割法，使割的容量最小。也就是说，找到通过能力最弱的断面。

可以证明一切流都不能超过任何s-t割，所以经过图的最大流就是图的最小割。我们直观上就可以知道，通过能力最弱的断面就是整个网络的最大流量。这个理论把最大流问题和最小割问题联系了起来。

額外規定映射 ${\displaystyle c\colon V\rightarrow R^{+}}$為點的容量，記做 c(v)，使得一個流 f 不只要滿足邊的流量限制與流量守恆，還要滿足點的流量限制，即

${\displaystyle \forall v\in V\setminus \{s,t\}:\qquad \sum \nolimits _{\{u\in V\mid (u,v)\in E\}}f_{uv}\leq c(v).}$

換句話說，流過 v 點的總流量不能超過 v 的容量 c(v)。一個 s-t 割 的定義為一個包含一些點和邊的集合，滿足與任一條由 s 到 t 的路徑皆不互斥。並且 s-t 割的容量 定義成所有點和邊的容量總和。

在此定義之下，廣義最大流最小割定理的敘仍為流量的最大值等於所有 s-t 割的容量最小值。

不共邊路徑問題為給定無向圖 ${\displaystyle G=(V,E)}$ 及兩頂點 s、t，求從 s 到 t 彼此沒有共同邊的路徑數量的最大值。

門格爾定理的敘述為從 s 到 t 彼此沒有共同邊的路徑數量的最大值等於在所有 G 的 s-t 割(以原本的定義)中，頂點分別在不同集合的邊數的最小值。

計畫選擇問題的網絡型態

計畫選擇問題敘述如下：當下有 n 個計畫 ${\displaystyle p_{1},\dots ,p_{n}}$可以被實施、m 種設備 ${\displaystyle q_{1},\dots ,q_{m}}$ 可以被購買，要執行計畫必須擁有該計畫要求的設備，執行計畫 ${\displaystyle p_{i}}$可獲得 ${\displaystyle r(p_{i})}$ 的收益，但購買設備 ${\displaystyle q_{j}}$ 要支付 ${\displaystyle c(q_{j})}$ 的費用。如何選擇執行計畫並購買所需設備以獲得淨利的最大值？

設 P 為不被執行的計畫的集合，Q 為所購買的設備，則問題變成求最大值

${\displaystyle \max _{P,Q}\sum _{i=1}^{n}r(p_{i})-\sum _{p_{i}\in P}r(p_{i})-\sum _{q_{j}\in Q}c(q_{j})}$

注意到 ${\textstyle \sum _{i}r(p_{i})}$與 P、Q 的選擇無關，故只需求後兩項和的最小值，即

${\displaystyle \min _{P,Q}\sum _{p_{i}\in P}r(p_{i})+\sum _{q_{j}\in Q}c(q_{j})}$

現在考慮一個網絡，起源点 s 連接到 n 個點 ${\displaystyle p_{1},\dots ,p_{n}}$，邊的容量分別為 ${\displaystyle r(p_{i})}$，超匯点 t 連接到 m 個點 ${\displaystyle q_{1},\dots ,q_{m}}$，邊的容量分別為 ${\displaystyle c(q_{j})}$，若執行任務 ${\displaystyle p_{i}}$需購買設備 ${\displaystyle q_{j}}$ ，則在 ${\displaystyle p_{i}}$、${\displaystyle q_{j}}$ 之間連上一條容量為無限大的邊，若不需購買設備，則不連上邊。則 ${\textstyle \sum _{p_{i}\in P}r(p_{i})+\sum _{q_{j}\in Q}c(q_{j})}$ 對應到一個 s-t 割的容量，其中的兩個集合是要執行的計畫與要購買的設備和它的餘集，也就是

${\displaystyle \{s\}\cup (P'\setminus P)\cup Q{\text{、 }}\{t\}\cup P\cup (Q'\setminus Q)}$

在此，${\displaystyle P'=\{p_{1},\dots ,p_{n}\}}$，${\displaystyle Q'=\{q_{1},\dots ,q_{m}\}}$。於是，原問題轉成求該圖的最大流問題，並且可以藉由各種算法求得其極值。

以下給出一個計畫選擇問題的例子，右圖是該問題對應到的網絡。

該網絡的最小 s-t 割是選擇計畫 p₂、p₃ 與設備 q₂、q₃，容量為 250。三個計劃的總收益是 450，因此最大淨利為 450 − 250 = 200。

以上解法可以理解為將計畫所給予的收益流過所需設備，如果無法流滿設備至 t 的邊，代表執行計畫不合成本，最小割將選擇穿過 s 到計畫的邊而非穿過設備到 t 的邊。

Each black node denotes a pixel.

設原圖有 n 像素，想要把該圖分割為前景和背景，並且將 i 像素歸類為前景有效益  f_i，歸類為背景有效益  b_i，但是若 i、j 像素相鄰且被歸類為不同塊，則會減少 p_ij 的效益。求將該圖分割為前後景的最有效益方法。

令 P 為前景的集合，Q 為背景的集合，於是問題轉化成求最大值

${\displaystyle \max _{P,Q}\sum _{i\in P}f_{i}+\sum _{i\in Q}b_{i}-\sum _{i\in P,j\in Q\lor j\in P,i\in Q}p_{ij}}$

因為  f_i、 b_i 的總合是與 P、Q的選取無關，因此等價於求以下最小值

${\displaystyle \min _{P,Q}\sum _{i\in Q}f_{i}+\sum _{i\in P}b_{i}+\sum _{i\in P,j\in Q\lor j\in P,i\in Q}p_{ij}}$

以上的最小值問題可以被描述為一個網絡的最小割問題，其中該網絡如右圖，以橘點為起源點；紫點為超匯點。各個像素被描述為網絡的頂點，起源點至第 i 個像素連上一條容量為  f_i 的有向邊；第 i 個像素至超匯點連上一條容量為 b_i 的有向邊。相鄰的像素 i、j 之間連上來回兩條容量為 p_ij 的有向邊。則一個 s-t 割代表一種將部分像素歸類為前景 P、其餘歸類為背景 Q 的安排。