门格尔定理

門格爾定理的邊連通度版本敘述為：

設 G 是個有限簡單圖，x 和 y 是其中兩個不相鄰的頂點。則 x 和 y 之間的最小邊割集元素個數等於從 x 到 y 兩兩邊獨立的路徑的最多個數。其中一個 x 和 y 之間的邊割集是一些邊的集合，使得 G 扣除這些邊會使 x 和 y 不連通。 延伸至所有點對：G 是 k-邊連通若且唯若 G 中任兩點之間都可以找到 k 條兩兩邊獨立的路徑。

門格爾定理的點連通度版本敘述為：

設 G 是個有限簡單圖，x 和 y 是其中兩個不同的頂點。則 x 和 y 之間的最小點割集元素個數等於從 x 到 y 兩兩端點外點獨立的路徑的最多個數。其中一個 x 和 y 之間的點割集是蒐集一些點，使得 G 扣除這些點會使 x 和 y 不連通。 延伸至所有點對：G 是 k-連通若且唯若 G 中任兩點之間都可以找到 k 條兩兩端點外點獨立的路徑。

上述兩版本對於 G 是有向有向圖的情況仍然成立，唯獨路徑將修改成有向路徑。

x,y-点割集(x,y-separator or x,y-cut)：给定一个图G和${\displaystyle x,y\in V(G)}$，一个点集${\displaystyle S\subseteq V(G)}$，如果G-S中无x到y的路径，则称S是x,y-点割集。

x,y-边割集(x,y-edge-separator or x,y-edge-cut)：给定一个图G和${\displaystyle x,y\in V(G)}$，一个边集${\displaystyle S\subseteq E(G)}$，如果G-S中无x到y的路径，则称S是x,y-边割集。

X,Y-路径(X,Y-Path)：给定一个图G和两个点集${\displaystyle X,Y\subseteq V(G)}$，X,Y-路径是指一条起点在X中，终点在Y中，中间点均不在${\displaystyle X\cup Y}$中的路径。

内部不相交路径(internally disjoint path)是指除端点外其他点互不相交的路径。

下面我们给出门格尔定理的一个归纳证明。[1]

门格尔定理[2]：如果x,y是图G的两个顶点，且${\displaystyle xy\notin E(G)}$，那么最小x,y-点割集的大小等于内部不相交的x,y-路径的条数。

证明：记最小x,y-点割集的大小为${\displaystyle \kappa (x,y)}$，内部不相交的x,y-路径的条数为${\displaystyle \lambda (x,y)}$。

因为x,y-点割集必须包含任意一条x,y-路径上的一点，而共有${\displaystyle \lambda (x,y)}$条内部不相交的x,y-路径，所以${\displaystyle \kappa (x,y)\geq \kappa (x,y)}$。下面我们证明二者相等。

我们对图的阶数进行归纳。当n(G)=2，因为${\displaystyle xy\notin E(G)}$，所以${\displaystyle \kappa (x,y)=\lambda (x,y)=0}$，成立。

令${\displaystyle k=\kappa (x,y)}$，我们下面证明可以找到k条内部不相交的x,y-路径。

情况1：当G有一个最小x,y-点割集S，S既不是N(x)也不是N(y)，其中N(x)，N(y)分别是x和y的邻点。

令${\displaystyle V_{1}}$为所有x,S-路径上的点，${\displaystyle V_{2}}$为所有S,y-路径上的点。根据S的最小性，任意${\displaystyle v\in S}$，都有一条x,y-路径xPy经过v，且${\displaystyle P\cap S=v}$，因此${\displaystyle v\in V_{1}\cup V_{2}}$。反过来，任意${\displaystyle v\in V_{1}\cup V_{2}}$，必有${\displaystyle v\in S}$，否则x,y在G-S中通过v连通。因此，${\displaystyle S=V_{1}\cup V_{2}}$。

构造一个新的图${\displaystyle H}$，使得${\displaystyle H_{1}}$是G的${\displaystyle V_{1}}$-导出子图再加上一个新的点y′，使得y′与S中所有点相连。因为G中每一条x,y-路径都从x开始经过S，所以H中的x,y′-点割集也是G中的x,y-点割集。又因为S是H的x,y′-点割集，所以${\displaystyle \kappa _{H}(x,y)=k}$。又因为|N(y)-S|>0，所以H比G的阶数小，根据归纳假设，H中有k条内部不相交的x,y′-路径，即G中有k条内部不相交的x,S-路径。同理，G中有k条内部不相交的S,y-路径，把它们合起来得到k条内部互不相交的x,y-路径。

情况2：G的最小x,y-点割集不是N(x)就是N(y)。

如果存在一点${\displaystyle v\in G\backslash \{x\cup y\cup N(x)\cup N(y)\}}$，那么v不在G的任意一个最小x,y-点割集中，因此${\displaystyle \kappa _{G-v}(x,y)=k}$。根据归纳假设，可以在G-v中找到k条内部不相交的x,y-路径，它们也是G中k条内部不相交的x,y-路径。

如果存在一点${\displaystyle u\in N(x)\cap N(y)}$，那么${\displaystyle \kappa _{G-u}(x,y)=k-1}$。根据归纳假设，可以在G-u中找到k-1条内部不相交的x,y-路径，再加上xuy，得到G中k条内部不相交的x,y-路径。

否则，N(x)和N(y)是${\displaystyle V(G)-\{x,y\}}$的一个分划（partition）。令G′是由N(x)和N(y)以及它们之间的边[N(x),N(y)]构成的二部图。x,y-点割集实际上对应了一个G′中的点覆盖(vertex cover)，根据Kőnig定理，G′的最小点覆盖等于最大匹配。因此G′包含一个大小为k的匹配，即找到了G中k条内部不相交的x,y-路径。证毕。

• Gammoid
• k-顶点连通图
• k-边连通图

• Menger, Karl. . Fund. Math. 1927, 10: 96–115.
• Aharoni, Ron; Berger, Eli. . Inventiones mathematicae. 2008, 176: 1. Bibcode:2009InMat.176....1A. arXiv:math/0509397 . doi:10.1007/s00222-008-0157-3.
• Halin, R. . Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. 1974, 40: 111. doi:10.1007/BF02993589.

• 门格尔定理的证明 （页面存档备份，存于）
• 门格尔定理，并最大流最小割定理 （页面存档备份，存于）
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