最大與最小元

設${\displaystyle (P,\leq )}$為偏序集（或預序集亦可），${\displaystyle S}$為其子集。若${\displaystyle S}$的元素${\displaystyle g}$滿足：

對${\displaystyle S}$的任意元素${\displaystyle s}$，皆有${\displaystyle s\leq g}$，

則${\displaystyle g}$稱為${\displaystyle S}$的最大元（英語：）。對偶地，若${\displaystyle S}$的元素${\displaystyle l}$滿足：

對${\displaystyle S}$的任意元素${\displaystyle s}$，皆有${\displaystyle l\leq s}$，

則${\displaystyle l}$稱為${\displaystyle S}$的最小元（）。

由定義，${\displaystyle S}$的最大（小）元必定是${\displaystyle S}$的上（下）界。且若${\displaystyle P}$為偏序集，則集合${\displaystyle S}$至多得一個最大元：若${\displaystyle g_{1}}$和${\displaystyle g_{2}}$皆為最大，則由定義有${\displaystyle g_{1}\leq g_{2}}$，又有${\displaystyle g_{2}\leq g_{1}}$，由反對稱性得${\displaystyle g_{1}=g_{2}}$。所以若有最大元，則必定唯一。[1]若改為預序集則不一定。

整個偏序集${\displaystyle P}$的最大最小元又稱為頂（）和底（）。頂常以符號記作${\displaystyle 1}$或${\displaystyle \top }$，底則是${\displaystyle 0}$或${\displaystyle \bot }$，在有补格和布爾代數等結構中尤為常見。有頂和底的偏序集稱為有界偏序集合。

設${\displaystyle (P,\leq )}$為偏序集，${\displaystyle S}$為其子集。

• 有限全序集的非空子集必有最大最小元。
• ${\displaystyle S}$若有最大元${\displaystyle g}$，則${\displaystyle g}$必定是極大元。此時，${\displaystyle S}$衹有這一個極大元：對任意極大元${\displaystyle M}$，由於${\displaystyle g}$是最大元，必有${\displaystyle M\leq g}$，從而由${\displaystyle M}$極大知${\displaystyle M=g}$。所以若${\displaystyle S}$有多於一個極大元，則不能有最大元。
• 若${\displaystyle P}$滿足升链条件，則其子集${\displaystyle S}$有最大元当且仅当其恰有一個極大元。
  • 「僅當」：最大元必然是極大元。
  • 「當」：假設${\displaystyle S}$有唯一極大元${\displaystyle m}$但沒有最大元。因為${\displaystyle m}$不是最大，有${\displaystyle s_{1}\in S}$與${\displaystyle m}$不可比，又${\displaystyle s_{1}}$不是極大，所以有某個${\displaystyle s_{2}\in S}$滿足${\displaystyle s_{1}<s_{2}}$。${\displaystyle s_{2}}$與${\displaystyle m}$也不可比：若${\displaystyle m<s_{2}}$，則與${\displaystyle m}$極大矛盾；反之${\displaystyle s_{2}\leq m}$又推出${\displaystyle s_{1}<m}$，與${\displaystyle s_{1}}$、${\displaystyle m}$不可比又矛盾。重複以上步驟，可得無窮遞升鏈${\displaystyle s_{1}<s_{2}<\cdots <s_{n}<\cdots }$（其中每個${\displaystyle s_{i}}$皆與${\displaystyle m}$不可比，又非極大），與升鏈條件矛盾。

假如${\displaystyle \,\leq \,}$限制到子集${\displaystyle S}$上為全序（如首段附圖的${\displaystyle S=\{1,2,4\}}$），則在${\displaystyle S}$中，最大元與極大元等價：若${\displaystyle m\in S}$為極大，則對任意其他${\displaystyle s\in S}$，必有${\displaystyle s\leq m}$（${\displaystyle m<s}$將與${\displaystyle m}$極大矛盾），故${\displaystyle m}$是最大元。

所以，全序集中，最大元與極大元兩個概念重合，有時也稱為最大值（），同理最小元與極小元也稱為最小值（）。但上述用法與實值函數論的用法略有出入。[2]研究實值函數時，所謂最大值是函數的值域的最大元，又稱全域最大值、絕對最大值、最大值。[3]而限制到某點鄰域時，對應值域的最大元（等同於極大元）則稱為局域最大值、相對最大值、極大值。[4]最大最小值又合稱最值，極值亦同。

集合${\displaystyle S}$的最大最小值分別記作${\displaystyle \max S,\min S}$。在格理論或概率论中，為方便運算，會將兩數${\displaystyle a,b}$之最大最小值（即其組成二元集的最大最小元）簡記作併${\displaystyle a\vee b}$和交${\displaystyle a\wedge b}$。換言之：

${\displaystyle a\vee b=\max\{a,b\},\quad a\wedge b=\min\{a,b\}.}$[5]

例2之哈斯圖

• 實數集${\displaystyle \mathbb {R} }$中，全體整數組成的子集${\displaystyle \mathbb {Z} }$沒有上界，從而沒有最大元。
• 如圖所示，在集合${\displaystyle \{a,b,c,d\}}$上，定義自反關係${\displaystyle \,\leq \,}$使${\displaystyle a\leq c,}$ ${\displaystyle a\leq d,}$ ${\displaystyle b\leq c,}$ ${\displaystyle b\leq d.}$。則${\displaystyle c,d}$皆是集合${\displaystyle \{a,b\}}$的上界，但因為不可比較，沒有最小上界。又${\displaystyle a,b}$不可比，${\displaystyle \{a,b\}}$沒有最大元。
• 有理數集${\displaystyle \mathbb {Q} }$中，平方小於2的數所組成的子集${\displaystyle \{q\in \mathbb {Q} :q^{2}<2\}}$有上界（如${\displaystyle 100}$），但沒有最大元，也沒有上確界。
• ${\displaystyle \mathbb {R} }$中，區間${\displaystyle [0,1)}$有上確界${\displaystyle 1}$而沒有最大元。但區間${\displaystyle [0,1]}$有最大元${\displaystyle 1}$，同時也是上確界。
• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$配備積偏序時[註 1]，滿足${\displaystyle 0<x<1}$（而${\displaystyle y}$任意）的二元組${\displaystyle (x,y)}$的集合${\displaystyle A}$沒有上界，也沒有最大元。
• 但當${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$配備字典序時[註 2]，${\displaystyle A}$有上界${\displaystyle (1,0)}$，但仍沒有上確界和最大元。

• 本质上确界和本质下确界
• 始对象和终对象
• 極大與極小元
• 上极限和下极限
• 上界和下界
• 上確界和下確界

• 西岡, 康夫. . オーム社. 2013. ISBN 9784274214073 （日语）.
• 松坂, 和夫. . 岩波書店. 1968. ISBN 4-00-005424-4 （日语）.
• Davey, B. A.; Priestley, H. A. 2nd. Cambridge University Press. 2002. ISBN 978-0-521-78451-1 （英语）.