最小生成树

这张图表明一个图中可能有多个最小生成树

最小生成树在一些情况下可能会有多个。例如，当图的每一条边的权值都相同时，该图的所有生成树都是最小生成树。

如果图的每一条边的权值都互不相同，那么最小生成树将只有一个[1]。这一定理同样适用于最小生成森林。

证明：

假设图${\displaystyle G}$为每条边权值互不相同的连通图，且有两个不同的最小生成树${\displaystyle T}$和${\displaystyle T'}$。

则${\displaystyle T}$中必然存在一些在${\displaystyle T'}$中并不存在的边，取其中一条这样的边${\displaystyle e_{0}}$。

因为${\displaystyle T'}$是最小生成树，所以若往${\displaystyle T'}$中添加边${\displaystyle e_{0}}$，则将会出现环路。（因为有${\displaystyle m}$个顶点的树有且仅有${\displaystyle m-1}$条边）

同时可知，如果从${\displaystyle T}$中删除边${\displaystyle e_{0}}$，则${\displaystyle T}$将分为互不连通的两个连通分量。因为${\displaystyle e_{0}\notin T'}$，所以${\displaystyle T'}$中必然有其他的边连接这两个连通分量。且将${\displaystyle e_{0}}$加入${\displaystyle T'}$后形成的环路中，除了${\displaystyle e_{0}}$外至少有另一条连接${\displaystyle T}$中删除${\displaystyle e_{0}}$后的这两个连通分量的边。取其中一条这样的边，记作${\displaystyle {e_{0}}'}$。此时若将${\displaystyle {e_{0}}'}$加入${\displaystyle T}$，则可连接从${\displaystyle T}$中删除${\displaystyle e_{0}}$后得到的两个连通分量，并形成一棵不同的生成树。

因为${\displaystyle G}$中所有边的权值互不相同，所以关于${\displaystyle e_{0}}$和${\displaystyle {e_{0}}'}$的权重大小关系，可能有以下两种情况之一：

1. 若${\displaystyle e_{0}<{e_{0}}'}$，则可从${\displaystyle T'}$中删除${\displaystyle {e_{0}}'}$并加入${\displaystyle e_{0}}$，从而得到一棵总权值更小的生成树。这和${\displaystyle T'}$是最小生成树相矛盾。
2. 若${\displaystyle e_{0}>{e_{0}}'}$，则可从${\displaystyle T}$中删除${\displaystyle e_{0}}$并加入${\displaystyle {e_{0}}'}$，从而得到一棵总权值更小的生成树。同样，这和${\displaystyle T}$是最小生成树相矛盾。

综上，若${\displaystyle G}$各边权重互不相等，则不可能存在两棵互不相同的最小生成树。即${\displaystyle G}$的最小生成树是唯一的。

如果图的边的权值都为正数，那么最小生成树就是该图的所有包含所有顶点的子图中权值最低的连通子图。

对于连通图中的任意一个环${\displaystyle C}$：如果${\displaystyle C}$中有边${\displaystyle e}$的权值大于该环中任意一个其它的边的权值，那么这个边不会是最小生成树中的边

证明：
假设${\displaystyle e}$属于最小生成树${\displaystyle T1}$，那么将${\displaystyle e}$删去将会使得${\displaystyle T1}$变为两个树。因为环${\displaystyle C}$必然还存在另一横切边ｆ可以连接两个子树形成生成树${\displaystyle T2}$，且由于${\displaystyle f}$＜${\displaystyle e}$，生成树${\displaystyle T2}$权值更小，与${\displaystyle T1}$是最小生成树矛盾。

此图展示了最小生成树的割定理。${\displaystyle T}$是该图唯一的最小生成树，令${\displaystyle S=\left\{A,B,D,E\right\}}$，则${\displaystyle V-S=\left\{C,F\right\}}$，这样就形成了一个割，其割集包含3条割边，即BC，EC，EF，如果去除它们就可以将这两个子图完全断开。在割集中，${\displaystyle e}$是权值最小的边，所以${\displaystyle S\cup \left\{e\right\}}$是最小生成树${\displaystyle T}$的一部分。

在一幅连通加权无向图中，给定任意的割，如有一条割边的权值严格小于所有其他割边，则这条边必然属于图的最小生成树。

证明：
令${\displaystyle e}$为权重最小的割边，假设${\displaystyle T}$为图的最小生成树，且${\displaystyle T}$不包含${\displaystyle e}$。那么如果将${\displaystyle e}$加入${\displaystyle T}$，得到的图必然含有一条经过${\displaystyle e}$的环，且这个环也含有另一条割边--设为${\displaystyle e'}$，${\displaystyle e'}$的权重必然大于${\displaystyle e}$，那么用${\displaystyle e}$替换${\displaystyle e'}$可以形成一个权值小于${\displaystyle T}$的生成树，与${\displaystyle T}$为最小生成树矛盾。所以假设不成立，因此${\displaystyle T}$必然包含${\displaystyle e}$。[2]。

如果图的具有最小权值的边只有一条，那么这条边包含在任意一个最小生成树中。

证明：
假设该边${\displaystyle e}$没有在最小生成树${\displaystyle T}$中，那么将${\displaystyle e}$加入${\displaystyle T}$中会形成环，用${\displaystyle e}$替换环中的任意一条权值更大的边，将会形成权值更小的生成树，与题设矛盾。

计算稠密图的最小生成树最早是由羅伯特·C·普里姆在1957年发明的[3]，即普里姆算法。之后艾兹赫尔·戴克斯特拉也独自发明了它[4]。但该算法的基本思想是由沃伊捷赫·亚尔尼克于1930年发明的[5]。所以该算法有时候也被称为亞爾尼克算法或者普里姆-亞爾尼克算法。20世纪70年代，优先队列发明之后很快被用在了寻找稀疏图中的最小生成树上。1984年，迈克尔·弗里德曼和罗伯特·塔扬发明了斐波那契堆，普里姆算法所需要的运行时间在理论上由${\displaystyle E\log E}$提升到了${\displaystyle E+V\log V}$。约瑟夫·克鲁斯卡尔在1956年发表了他的算法，在他的论文中提到了普里姆算法的一个变种，而奥塔卡尔·布卢瓦卡在20世纪20年代的论文中就已经提到了该变种。M.Sollin在1961年重新发现了该算法，该算法后成为实现较好渐进性能的最小生成树算法和并行最小生成树算法的基础[6]。

以下各算法介绍中，${\displaystyle E}$表示图的边数，${\displaystyle V}$表示图的顶点数。　

第一个用于寻找最小生成树的算法由捷克科学家奥塔卡尔·布卢瓦卡提出，即布卢瓦卡算法。

普里姆算法的每一步都会为一棵生长中的树添加一条边，该树最开始只有一个顶点，然后会添加${\displaystyle V-1}$个边。每次总是添加生长中的树和树中除该生长的树以外的部分形成的切分的具有最小权值的横切边。

普里姆算法的时间复杂度为${\displaystyle O(E+V\log V)}$。

按照边的权重顺序（从小到大）将边加入生成树中，但是若加入该边会与生成树形成环则不加入该边。直到树中含有${\displaystyle V-1}$条边为止。这些边组成的就是该图的最小生成树。

克鲁斯克尔算法的时间复杂度为${\displaystyle E\log E}$。

一些研究者希望可以找出更为高效的算法，在这方面也有了一定的成果。 Karger，Klein & Tarjan (1995)针对边的权值可以成对比较的特殊模型提出了一个基于Borůvka算法和翻转删除算法的可以在线性时间内解决最小生成树的算法[7][8]。

最快的非随机比较算法是由伯纳德·沙泽勒提出的。该算法依赖于soft heap这样一个类似于优先级队列的数据结构[9][10] 。该算法的时间复杂度为${\displaystyle O(E\alpha (E,V))}$。${\displaystyle \alpha }$就是阿克曼函数反函数，${\displaystyle \alpha }$的增长速度非常慢，对于一般的数值来说，其值很难超过5，所以该算法的复杂度可以近似看成是线性时间。

目前，既不能证明不存在能在线性时间内得到任意图的最小生成树的算法，也未能发明能够在线性时间内计算稀疏图的最小生成树的算法。