割

割${\displaystyle C=(S,\ T)}$是将图${\displaystyle G=(V,\ E)}$的顶点V分为两子集S、T的划分。 割${\displaystyle C=(S,\ T)}$的割集是一端点位于S、另一端点位于T的边的集合${\displaystyle \{(u,\ v)\in E|u\in S,\ v\in T\}}$。 令s、t是图G的两顶点，则s–t割是使得s属于S、t属于T的割。

在无权无向图中，割的大小（size）或权（weight）是跨过割的边数。加权图中，割的值（value）或权（weight）是跨过割的边的权重之和。

键（bond）是真子集中没有其他割集的割集。

一个最小割。

最小割的大小或权不大于其他割。右图展示了最小割，其大小为2，且没有大小为1的割，因为这张图没有桥。

最大流最小割定理指出，最大网络流等于分割了源汇的最小割的割边权重之和。有一些多项式时间方法可以解决最小割问题，最知名的是埃德蒙兹-卡普算法。[2]

一个最大割。

最大割的大小或权不小于其他割。右图展示了最大割，其大小为5，且没有大小为6的割（即边的总数，写作${\displaystyle |E|}$），因为这张图不是二分图（有奇环）。

一般来说，找最大割是很难计算的。[3] 最大割问题是卡普的二十一个NP-完全问题之一，[4] 也是APX问题之一，这是说除非P = NP，否则不会存在多项式时间复杂度的近似方法。[5] 不过，可以用半正定规划，将其逼近到恒定的近似比。[6]

注意从线性规划的意义上讲，最小割与最大割问题虽然可以通过改换目标函数的min、max使其变为另一个问题，但不是对偶的：最小割问题的对偶实际上是最大流问题。[7]

最疏割（sparsest cut）使跨过割的边数对割的较小一侧的顶点数之比最小，目标函数偏向稀疏（跨过割的边更少）与平衡（接近二分）。这是NP问题，已知的最佳近似算法是${\displaystyle O({\sqrt {\log n}})}$近似，见Arora，Rao & Vazirani (2009)。[8]

无向图的所有割的族（family）称作图的割空间（cut space），在算术模2的二元有限域上形成向量空间，以两割集的对称差为向量加法，是环空间的正交补。[9][10]若给边赋予正权重，割空间的最小权基可由与图同顶点集的树描述，称作最小割树。[11]树的边都关联于原图的键，两节点s、t之间的最小割也就是与树中s到t的路径相关联的键中权最小的键。

• 连通性 (图论)
• 裂 (图论)
• 顶点割
• 桥 (图论)
• 割宽