有界集合

如果存在一个实数 ${\displaystyle k}$，使得对于所有 ${\displaystyle S}$ 中的 ${\displaystyle s}$ 有 ${\displaystyle k\geq s}$，实数集合 ${\displaystyle S}$ 被稱為“上有界”的，这个数 ${\displaystyle k}$ 被称为 ${\displaystyle S}$ 的上界。可用类似的定义术语“下有界”和下界。

如果集合 ${\displaystyle S}$ 有上界和下界二者，則它是有界的。所以，如果一個实数集合包含在有限区间内，則它是有界的。

度量空间 ${\displaystyle (M,d)}$ 的子集 ${\displaystyle S}$ 是有界的，如果它包含在有限半径的球内，就是说如果对于所有 ${\displaystyle S}$ 中的 ${\displaystyle s}$，存在 ${\displaystyle M}$ 中的 ${\displaystyle x}$ 并且 ${\displaystyle r>0}$，使得 ${\displaystyle d(x,s)<r}$。${\displaystyle M}$ 是有界度量空间（或 ${\displaystyle d}$ 是有界度量），如果 ${\displaystyle M}$ 作为自身的子集是有界的。

• 完全有界性蕴涵有界性。对于 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 的子集下列二者是等价的。
• 度量空间是紧致的，当且仅当它是完备的并且是完全有界的。
• 欧几里得空间 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 的子集是紧致的，当且仅当它是闭集并且是有界的。

在拓扑向量空间中，存在一個有界集合的不同定义，通常叫做冯·诺伊曼有界性。如果拓扑向量空间的拓扑是由均匀度量所誘導，如度量是由赋范向量空间的范数所誘導的情况，则这两个定义是一致的。

一個实数集合是有界的，当且仅当它有上界和下界。这个定义可扩展到任何偏序集合的子集。注意这个更一般的有界性概念不对应于“大小”的概念。

對於偏序集合 ${\displaystyle P}$ 的子集 ${\displaystyle S}$，如果 ${\displaystyle S}$ 中的所有元素 ${\displaystyle s}$，都小於 ${\displaystyle P}$ 中的某個元素 ${\displaystyle k}$，也就是對於所有${\displaystyle s\in S}$，${\displaystyle s\leq k}$，其中${\displaystyle k\in P}$ ，則稱S為上有界的(bounded above)，而元素 ${\displaystyle k}$ 稱為 ${\displaystyle S}$ 的上界。同理可定义下有界和下界。（参见上界和下界。）

偏序集合 ${\displaystyle P}$ 的子集 ${\displaystyle S}$ 叫做有界的，如果它有上界和下界二者，或等价的说，它被包含在一个区间内。注意这不是集合 ${\displaystyle S}$ 自己的一个性质，而是集合 ${\displaystyle S}$ 作为 ${\displaystyle P}$ 的子集的性质。

有界偏序集合 ${\displaystyle P}$（就是说自身就是有界而不是作为子集）是有最小元素和最大元素的偏序集合。注意这个有界性的概念与有限大小无关，有界偏序集合 ${\displaystyle P}$ 的子集 ${\displaystyle S}$ 在 ${\displaystyle P}$ 的次序（的限制）下也不必然是有界偏序集合。

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 的子集 ${\displaystyle S}$ 是关于欧几里得距离有界的，当且仅当它在乘积序下作為 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 的子集是有界的。但是，${\displaystyle S}$ 可以是在字典序下有界，而不关于欧几里得距离有界。

序数的类被称为是无界的，或共尾的，在给定任何序数的时候，总是有这个类的某个成员大于它。所以在这种情况下，“无界”不意味着自身是无界的而是作为序数类的子类是无界的。

• 完全有界空间
• 局部有界性
• 有界函数