有限秩算子

有限秩算子類似有限大小的矩陣，但是放在無窮維空間中。於是，可藉線性代數技巧刻畫其性質。

由線性代數知，複矩陣${\displaystyle M\in \mathbb {C} ^{n\times m}}$之秩為1，當且僅當${\displaystyle M}$可以寫成：

${\displaystyle M=\alpha \cdot uv^{*}}$ 其中 ${\displaystyle \|u\|=\|v\|=1}$ 且 ${\displaystyle \alpha \geq 0}$

同樣可證希氏空間${\displaystyle H}$上，算子${\displaystyle T}$之秩為1，當且僅當

${\displaystyle Th=\alpha \langle h,v\rangle u\quad \forall h\in H,}$

其中${\displaystyle \alpha ,u,v}$與有限維情況滿足同等條件。由此，用數學歸納法，可證秩${\displaystyle n}$的算子${\displaystyle T}$必可寫成

${\displaystyle Th=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\langle h,v_{i}\rangle u_{i}\quad \forall h\in H,}$

其中${\displaystyle \{u_{i}:i=1,2,\ldots ,n\}}$和${\displaystyle \{v_{i}:i=1,2,\ldots ,n}\}$皆為标准正交基。前述表示法實質等同於奇异值分解，可以稱為有限秩算子的「典範型」（）。

略加推廣，若${\displaystyle n}$改為可數無窮，而正實數列${\displaystyle \{\alpha _{i}\}}$僅會聚於0，則${\displaystyle T}$為緊算子，相應的和式稱為緊算子的典範型。

若級數${\displaystyle \sum _{i}\alpha _{i}}$（跡）收斂，則${\displaystyle T}$是迹类算子。

希氏空間${\displaystyle H}$上，全體有限秩算子之族${\displaystyle F(H)}$是有界算子代數${\displaystyle L(H)}$的雙邊*理想。此外，其為此類（非零）理想中最小者，即${\displaystyle L(H)}$的任何雙邊*理想${\displaystyle I}$必包含全體有限秩算子。簡證如下：取非零算子${\displaystyle T\in I}$，則有非零的${\displaystyle f,g}$使${\displaystyle Tf=g}$。衹需證對任意${\displaystyle h,k\in H}$，將${\displaystyle h}$映至${\displaystyle k}$的秩1算子${\displaystyle S_{h,k}}$屬於${\displaystyle I}$。同樣定義${\displaystyle S_{h,f}}$和${\displaystyle S_{g,k}}$，則有

${\displaystyle S_{h,k}=S_{g,k}TS_{h,f},\,}$

從而${\displaystyle S_{h,k}}$在${\displaystyle I}$中，證畢。

${\displaystyle L(H)}$的雙邊*理想舉例有跡類、希尔伯特-施密特算子類、紧算子類。三類各自配備範數，而${\displaystyle F(H)}$在此三個賦範空間中稠密。

由於${\displaystyle L(H)}$的每個雙邊理想都包含${\displaystyle F(H)}$，${\displaystyle L(H)}$為單代數當且僅當有限維。