有界算子

• 任何在兩個有限維度賦範空間之間線性算符皆是有界的，且此類算符可以被視為某些固定矩陣的乘積。
• 許多積分變換為有界線性算符。例如，設

${\displaystyle K:[a,b]\times [c,d]\to {\mathbf {R} }\,}$

為一連續函數，則算符L

${\displaystyle (Lf)(y)=\int _{a}^{b}\!K(x,y)f(x)\,dx,\,}$

（定義於由在${\displaystyle [a,b]\,}$ 上的連續函數所組成的空間${\displaystyle C[a,b]\,}$，賦予空間${\displaystyle C[c,d]\,}$ 均勻範數的值）是有界的。此一算符實際上也是緊緻的。緊緻算符在有界算符中是很重要的一類。

• 拉普拉斯算符

${\displaystyle \Delta :H^{2}({\mathbf {R} }^{n})\to L^{2}({\mathbf {R} }^{n})\,}$

（其定義域為索伯列夫空間，值域在由平方可積函數所組成的空間內）是有界的。

• 在由所有實數序列(x₀, x₁, x₂...)（其中${\displaystyle x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots <\infty ,\,}$）所組成的l² 空間上的位移算符

${\displaystyle L(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )=(0,x_{0},x_{1},x_{2},\dots )\,}$

是有界的。其算符範數可輕易地看出為1。

如開頭所述，在賦範空間X 及Y間的線性算子L 是有界的，若且唯若其為連續線性算子。證明如下：

• 設L 是有界的，則對X內的所有向量v 及h（其中的h不為零），會有

${\displaystyle \|L(v+h)-Lv\|=\|Lh\|\leq M\|h\|\,}$。

令${\displaystyle {\mathit {h}}\,}$ 趨近於零，即可證明L 在v 是連續的。甚至，因為常數M 不依賴v，可證明L 實際上是均勻連續的（更甚之，還是利普希茨連續的）。

• 反過來，在零向量的連續性，允許存在一個${\displaystyle \delta >0}$，使得對所有X 內${\displaystyle \|h\|\leq \delta }$ 的向量h，${\displaystyle \|L(h)\|=\|L(h)-L(0)\|\leq 1}$。因此，對所有'X 內的非零向量v，會有

${\displaystyle \|Lv\|=\left\Vert {\|v\| \over \delta }L\left(\delta {v \over \|v\|}\right)\right\Vert ={\|v\| \over \delta }\left\Vert L\left(\delta {v \over \|v\|}\right)\right\Vert \leq {\|v\| \over \delta }\cdot 1={1 \over \delta }\|v\|.}$

這證明了L 是有界的。

• Kreyszig, Erwin: Introductory Functional Analysis with Applications, Wiley, 1989

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