朱世杰恒等式是组合数的一阶求和公式。元朝數學家朱世傑在《四元玉鑒》中，利用垛積術、招差術給出：
或以 m − 1 {\displaystyle m-1} 代 n {\displaystyle n} 再與上式作差，寫成：
欲證
可以反覆使用帕斯卡法則合併左式首兩項。
从 n {\displaystyle n} 元集 S = { a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n } {\displaystyle S=\{a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}\}} 选 r {\displaystyle r} 个元素，有 ( n r ) {\displaystyle {\binom {n}{r}}} 种方法。
必有 a 1 {\displaystyle a_{1}} 时，在 n − 1 {\displaystyle n-1} 个元素中选 r − 1 {\displaystyle r-1} 个元素，排除 a 1 {\displaystyle a_{1}} ，必有 a 2 {\displaystyle a_{2}} 时，在 n − 2 {\displaystyle n-2} 个元素中选 r − 1 {\displaystyle r-1} 个元素，排除 a 2 {\displaystyle a_{2}} ，如此类推，直到必有 a n − r + 1 {\displaystyle a_{n-r+1}} 时，在 r − 1 {\displaystyle r-1} 个元素中选 r − 1 {\displaystyle r-1} 个元素。
∑ k = r n ( k − 1 r − 1 ) = ( n r ) {\displaystyle \sum _{k=r}^{n}{\binom {k-1}{r-1}}={\binom {n}{r}}} [2]
朱世杰恒等式可应用于等幂求和问题。例如：
